Как вывести сохраняющийся ток уравнения Клейна-Гордона?

Рассмотрим уравнение КГ для комплексного скалярного поля$\phi(x) \in \mathbb{C}$

$$\tag{1} ( \square + m^2 ) \phi(x) = 0,$$ и его комплексное сопряжение $$\tag{2} ( \square + m^2 ) \phi^*(x) = 0.$$ Умножая слева (1) на $\phi^*(x)$и (2) по $\phi(x)$у вас есть соответственно $$\tag{3} \phi^*(x) (\square + m^2 ) \phi(x) = 0$$ и $$\tag{4} \phi(x) ( \square + m^2 ) \phi^*(x) = 0.$$ Вычитая теперь (4) из (3), у вас есть $$\tag{5} \phi^*(x) (\square + m^2 ) \phi(x) - \phi(x) ( \square + m^2 ) \phi^*(x) = 0$$ $$\tag{5-1} \Longrightarrow (\phi^* \square \phi - \phi \square \phi^*) + m^2 (\phi^*\phi - \phi \phi^*) = 0$$ где на последнем шаге мы использовали тот факт, что $m \in \mathbb{R}$и поэтому $\phi(x) m = m \phi(x)$(и опустил $x$аргумент в пользу лени).

Потому что также$\phi(x), \phi^*(x) \in \mathbb{C}$, то есть это просто комплексные числа (в отличие от полей операторов в QFT), у вас есть$\phi(x)\phi^*(x)=\phi^*(x)\phi(x)$отсюда и вывод:

$$\phi^* \square \phi - \phi \square \phi^* = 0 \Longleftrightarrow \partial_\mu ( \phi^*(x) \partial^\mu \phi(x) - \phi(x) \partial^\mu \phi^*(x) ) = 0,$$ то есть $$\partial_\mu J^\mu(x) = 0, \qquad J^\mu(x) \equiv \phi^*(x)\partial^\mu\phi(x) - \phi(x)\partial^\mu \phi^*(x).$$

---

Примечание: я использую обозначение

$$\square \equiv \partial^2 \equiv \partial_\mu \partial^\mu,$$ и мой $\phi(x)$твой $\psi(x)$.