У кого-нибудь есть пример двухкубитных квантовых ворот не Паули и не Клиффорда?

Любые ворота вида diag$(1,1,1,\exp(i\phi))$не в$C_n$для любого$n$пока не$\phi = 2\pi k/2^n$для некоторых целых чисел$k$и$n$. Это можно доказать по индукции, используя аналогичный результат для однокубитных вентилей. Я не уверен, включено ли это в какой-либо опубликованный документ.

У нас нет хорошей характеристики ворот в$C_n$для$n > 2$, поэтому не существует известного более общего метода их создания или даже проверки наличия у вентиля этого свойства.

Группы Паули и Клиффорда содержат только конечное число элементов, поэтому в них не будет почти никаких унитарных элементов.

Просто попросите Matlab сделать вам случайный унитар. Например, почти ни один фазовый вентиль кубита не входит в эти группы.

Я не знаю функции Matlab, которая проверяет членство в этих группах. Однако вы можете написать простой код для упомянутых вами небольших размеров ворот. Поскольку элементы$U$группы Клиффорда удовлетворяют$U (Pauli) U^\dagger = (Pauli)'$вы можете запустить все операторы Паули и убедиться, что они отображаются друг на друга, например, вычислив перекрытие операторов, используя что-то вроде матричного внутреннего продукта$(M,N) = tr(M^\dagger N)$так как у одного есть$(\sigma^a, \sigma^b) = tr(\sigma^a \sigma^b) = 2 \delta^{ab}$.

Вероятно, есть лучший способ, но этот глупый алгоритм должен работать, если вас интересуют только ворота 2x2 и 4x4.

Именно потому, что группа Клиффорда порождается операторами

$$S = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix} \qquad H = \tfrac{1}{\sqrt 2} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \qquad \mathbf{cnot} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$$ и тензорных произведений с единицей, отсюда следует, что каждый оператор Клиффорда имеет вид $2^{-n/2} M$, где $M$является матрицей над целыми числами Гаусса ( т.е.  комплексными числами, где действительная и мнимая части являются целыми числами). Следовательно, любой унитарный оператор, не принадлежащий к этой форме, не является групповым оператором Клиффорда.