Потенциал Янга-Миллса и основные расслоения

В этом контексте термин калибровочное преобразование относится к двум связанным понятиям. Позволять$P$быть директором$G$- расслоение над коллектором$M$, и разреши$\cup_i U_i$быть прикрытием$M$. Соединение на$P$определяется набором$\mathfrak{g}=\mathrm{Lie}(G)$ценные 1-формы$\{A_i\}$определяется в каждом патче$\{U_i\}$, вместе с$G$-значные функции$g_{ij} : U_i \cap U_j \to G$на каждом двойном перекрытии, так что перекрывающиеся калибровочные поля связаны соотношением

$$A_j = g_{ij} A_i g_{ij}^{-1} + g_{ij} \mathrm{d} g_{ij}^{-1}.\tag{1}$$

Функции перехода также должны удовлетворять условию коцикла при тройных перекрытиях,$g_{ij}g_{jk}g_{ki} =1$. Это первое понятие калибровочного преобразования, связывающее локальные калибровочные поля на перекрывающихся картах.

Во-вторых, существует понятие калибровочной эквивалентности на пространстве связностей. Два соединения$\{ A_i, g_{ij} \}$и$\{A_i',g_{ij}'\}$называются калибровочно-эквивалентными, если существуют$G$-значные функции$h_i : U_i \to G$определены для каждого патча таким образом, что

$$A_i' = h_i A_i h_i^{-1} + h_i \mathrm{d}h_i^{-1} ~~\text{and}~~ g_{ij}' = h_j g_{ij} h_i^{-1}\tag{2}$$

С точки зрения глобально определенной связи 1-формы$\omega$на$P$, локальные калибровочные поля$\{A_i\}$определяются путем выбора набора разделов$\{\sigma_i\}$на каждом патче$M$. Локальные калибровочные поля получаются путем извлечения глобальной 1-формы,$A_i = \sigma_i^* \omega$. На перекрывающихся участках такие откаты связаны соотношением (1). С другой стороны, выбор разделов был произвольным; другой набор разделов$\{\sigma'_i\}$связано с первым по$\sigma'_i = \sigma_i h_i$приводит к калибровочной эквивалентности (2).

Учитывая карту$f: M \to M'$между двумя коллекторами и пучком$P'$над$M'$, мы получаем пучок над$M$по откату,$f^* P'$. Более того, отложенное расслоение зависит только от гомотопического класса$f$. Предположим, что у нас есть стягиваемое многообразие$X$. По определению существует гомотопия между тождественной картой$\mathbf{1}:X \to X$и банальная карта$p: X \to X$который переводит все многообразие в одну точку$p\in X$. Позволять$P$быть пучком$X$. Откат идентичности, конечно, определяет тот же набор,$\mathbf{1}^* P = P$. С другой стороны, откат$p^* P$является тривиальным расслоением; он отображает то же волокно выше$p$в каждую точку на$X$. Но связки$\mathbf{1}^*P$и$p^*P$эквивалентны, поскольку$\mathbf{1}$и$p$являются гомотопными отображениями. Таким образом, расслоение над стягиваемым пространством обязательно тривиально (т. е. прямое произведение).

В частности,$G$-связывать$\mathbb{R}^4$тривиально, будь то$G$абелева или неабелева. Крышка$\cup_i U_i$имеет один график,$\mathbb{R}^4$сам. Имеется одно калибровочное поле$A$, который является глобально определенным$\mathfrak{g}$-значная 1-форма. Получается из 1-формы$\omega$на$P$по откату,$A = \sigma^* \omega$, где$\sigma$является глобально определенным разделом. Выбор другого раздела$\sigma' = \sigma g(x)$производит калибровочно-эквивалентную связь, связанную с$A$по обычному закону калибровочного преобразования, приведенному выше.

Для получения дополнительной информации см., например, Накахара «Топология, геометрия и физика», глава 10.

Даже в том случае, когда пространство-время сжимаемо, происходит нечто более тонкое.$\mathbb{R}^4$. Даже в этой тривиальной ситуации обычно требуется (по физическим причинам), чтобы связь в одном виде распадалась на бесконечном радиусе. То есть

$$A(x) \to 0\text{ as } |x|\to\infty.$$ Как уже упоминалось в ответе пользователя81003, мы можем определить только 1-форму соединения до калибровочной эквивалентности, поэтому условие, что $A(x) \to 0$слишком силен. Лучшее, что мы можем сделать, это потребовать, чтобы $$A(x) \to h(x) d h(x)^{-1}\text{ as }|x|\to\infty.$$ для некоторого выбора $G$-значная функция $h(x)$(который может быть определен только для $|x|$достаточно большой).

Есть два способа интерпретировать, как это приводит к топологически нетривиальным расслоениям. Более простой (и более эвристический) способ состоит в том, чтобы сказать, что это условие затухания означает выбор функции$h(x) : S^3 \to G$на сфере в бесконечности. Это «граничное условие» должно быть определено только с точностью до непрерывной деформации, поэтому нас действительно интересует только гомотопический класс$h$, который является элементом$\pi_3(G)$.

Альтернативная точка зрения состоит в том, чтобы заметить, что условие, которое$A(x)$калибровочно эквивалентен$0$в бесконечности означает, что мы можем добавить точку$\infty$к нашему пространственно-временному многообразию и связи$A$по-прежнему будет хорошо определен до калибра. Это означает, что мы действительно должны смотреть на основные$G$расслоения на компактификации$\mathbb{R}^4$, который$S^4$. С$S^4$не является стягиваемым, уже не верно, что все основные$G$пучки тривиальны. Как объясняется в ответе пользователя81003, теперь нам нужно выбрать упрощенные диаграммы$S^4$, которые мы можем принять за диски, соответствующие северному и южному полушариям сферы (каждое из которых немного расширено, чтобы они перекрывались). Пересечение этих графиков равно экватору, умноженному на небольшой интервал.$S^3\times (-\epsilon, \epsilon)$, что гомотопически эквивалентно$S^3$. Функция перехода на этом перекрытии

$$g_{12} : U_1\cap U_2 \simeq S^3 \to G$$ затем классифицирует пакет. Опять же, это определено только с точностью до непрерывной деформации, поэтому мы видим, что класс главного $G$пучок определяется элементом $\pi_3(G)$.

На данный момент ясно, что калибровочная группа влияет на возможность существования нетривиальных расслоений. Например, поскольку$U(1) \cong S^1$, мы видим, что каждая карта$S^3 \to S^1$гомотопно постоянному отображению (другими словами,$\pi_3(S^1) = 0$), так что нетривиальных пока нет$U(1)$связки на$\mathbb{R}^4$, даже с учетом условия затухания (как сказал пользователь 81003, это не означает отсутствия калибровочных преобразований!). Однако, если$G = SU(2) \cong S^3$, то мы видим, что$\pi_3(S^3) \cong \mathbb{Z}$(целое число определяет степень карты$S^3\to S^3$), так что есть некоторые нетривиальные возможности. Это дает топологическую интерпретацию$SU(2)$инстантоны на$\mathbb{R}^4$. На https://en.wikipedia.org/wiki/Instanton#Quantum_field_theory есть очень краткое обсуждение этого вопроса, но, возможно, другие знают лучшие ссылки.