Поток энергии вследствие диффузии

Question

Поток энергии вследствие диффузии

Физика
распространение
термодинамика
химический потенциал

пользователь1476176

Согласно фундаментальному термодинамическому соотношению, я знаю, что химический потенциал $i$ представляет собой энергию, которую добавила бы система, если бы частица $i$ были добавлены, а все остальные системные свойства остались неизменными. По этому определению мгновенный поток энергии за счет диффузии $i$ должно быть

{\vec{Дж}}_{я} {мю}_{я}

$\vec{j}_i \mu_i$

где $\vec{j}_i$ это массовый поток видов $i$ . Это означает, что мгновенный поток энергии за счет всей диффузии должен быть

\sum_{я} {\vec{Дж}}_{я} {мю}_{я}

$\sum_i \vec{j}_i \mu_i$

Я нашел источник [ https://e-reports-ext.llnl.gov/pdf/367674.pdf Уравнение 12], который предполагает, что поток энергии из-за диффузии

\sum_{я} {\vec{Дж}}_{я} {час}_{я}

$\sum_i \vec{j}_i h_i$

Это согласуется с известным выражением для потока энергии из-за объемного переноса массы, но не с моим первым выражением. я знаю это $\mu$ и $h$ связаны

{мю}_{я} "=" г_{я} "=" {час}_{я} - Т с_{я}

$\mu_i = g_i = h_i - Ts_i$

но я не понимаю, как я могу сделать $T s_i$ term отменить, чтобы извлечь второе выражение из первого. Представляется, что для этого потребуется

\sum_{я} {\vec{Дж}}_{я} с_{я} "=" 0

$\sum_i \vec{j}_i s_i = 0$

и что это не может быть правдой вообще. Очевидно, это ставит «общую» формулу из моего источника в противоречие с моей интерпретацией «общего» Фундаментального Термодинамического Соотношения. Какой источник или предположение неверно?

Примечание. Я понимаю, что источник, на который я ссылаюсь, ссылается на несколько других источников. Я проконсультируюсь с ними, когда у меня будет возможность добраться до библиотеки, но я обеспокоен тем, что они также введут формулу как утверждение, а не вывод, и, таким образом, не ответят на мой вопрос.

Примечание. Я рассматривал возможность того, что здесь играет роль произвольность эталонных состояний. Я пришел к выводу, что это не так: $\mu$ , $h$ , и $s$ произвольны с точностью до аддитивной константы и $\sum_i \vec{j}_i = 0$ , поэтому суммирование произвольной константы по всем видам всегда возвращает 0.

Qмеханик

Небольшой комментарий к сообщению (v1): Пожалуйста, рассмотрите возможность явного указания автора, названия и т. д. ссылки, чтобы можно было восстановить ссылку в случае ее порчи.

Ответы (2)

Поток энергии вследствие диффузии

Небольшой комментарий к сообщению (v1): Пожалуйста, рассмотрите возможность явного указания автора, названия и т. д. ссылки, чтобы можно было восстановить ссылку в случае ее порчи.

пользователь1476176 · Answer 1

На этот вопрос [ Химический потенциал в термодинамике ] оказывается большая часть ответов. На нем не было пометки «химический потенциал», поэтому я не увидел его, когда спрашивал. В любом случае, я переформулирую это применительно к этому вопросу: химический потенциал — это энергия, добавляемая каждой частице, если энтропия и объем остаются постоянными . Настоящее основное уравнение

д ты "=" Т д с - п д В + \sum_{я} {мю}_{я} д у_{я}

$du = T ds - PdV + \sum_i \mu_i dy_i$

Для процесса постоянного объема с диффузионным потоком $\vec{j}$ , масса, пересекающая границу, вызывает изменение $y_i$ и в $s$ - последнее, потому что оно несет с собой энтропию. Тогда общее изменение энергии из-за диффузии равно

\begin{aligned} д ты & "=" Т д с - п д В + \sum_{я} {мю}_{я} д у_{я} \\ \frac{г ты}{г т} & "=" Т \frac{г с}{г т} - п \frac{г в}{г т} + \sum_{я} {мю}_{я} \frac{г у_{я}}{г т} \\ \frac{г ты}{г т} & "=" Т \sum_{я} {\vec{Дж}}_{я} с_{я} - 0 + \sum_{я} {мю}_{я} {\vec{Дж}}_{я} \\ "=" Т \sum_{я} {\vec{Дж}}_{я} с_{я} + \sum_{я} ({час}_{я} - Т с_{я}) {\vec{Дж}}_{я} \\ "=" Т \sum_{я} {\vec{Дж}}_{я} с_{я} + \sum_{я} {\vec{Дж}}_{я} {час}_{я} - Т \sum_{я} с_{я} {\vec{Дж}}_{я} \\ "=" \sum_{я} {\vec{Дж}}_{я} {час}_{я} \end{aligned}

$\begin{align} du &= T ds - PdV + \sum_i \mu_i dy_i \\ \frac{du}{dt}&= T \frac{ds}{dt} - P \frac{dv}{dt}+\sum_i \mu_i \frac{dy_i}{dt} \\ \frac{du}{dt}&= T \sum_i \vec{j}_i s_i - 0 + \sum_i \mu_i \vec{j}_i \\ &= T \sum_i \vec{j}_i s_i + \sum_i \left( h_i -Ts_i \right) \vec{j}_i \\ &= T \sum_i \vec{j}_i s_i + \sum_i \vec{j}_i h_i - T\sum_i s_i \vec{j}_i \\ &= \sum_i \vec{j}_i h_i \end{align}$

Если бы объем изменялся, мы могли бы также рассмотреть влияние этого изменения на энергию системы, но мы считали бы этот дополнительный эффект результатом механической работы, а не диффузии. Тогда мы могли бы рассматривать изменение энергии системы как сумму диффузионного потока (выше) и граничной работы.

Божья работа, дающая отличный ответ на ваш собственный вопрос! Это более или менее то, что я бы опубликовал, если бы вы этого не сделали.

большой · Answer 2

Возьмите элемент площади $\mathrm{d}S$ перпендикулярно $x$ -ось. Какое количество энергии передается через него в единицу времени? Ну и скорость потока $v_x\mathrm{d}S$ , а плотность энергии $\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho \varepsilon$ , где $\varepsilon$ является внутренней энергией. Таким образом, умножая их, мы получаем скорость транспортировки энергии через $\mathrm{d}S$ , $\left(\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho \varepsilon\right)v_x\mathrm{d}S$ , и, наконец, мы получаем конвективный поток энергии, если смотреть во всех направлениях (и имеем $\mathrm{d}S$ быть единицей площади):

(\frac{1}{2} р в^{2} + р ε) в

$\left(\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho \varepsilon\right)\mathbf{v}$

Это не все. Что также может случиться, так это то, что жидкость на минусовой стороне $\mathrm{d}S$ оказывает силу $\pi_x\mathrm{d}S$ на жидкости на плюсовой стороне. Теперь это работает: $\pi_x\mathrm{d}S \cdot \mathbf{v} = [\pi \cdot \mathbf{v}]_x \mathrm{d}S$ . Обобщение, чтобы включить $y$ и $z$ направления (и единицы площади) тоже имеем

[π \cdot в]

$[\pi \cdot \mathbf{v}]$

Если мы включим сюда еще и перенос тепла, мы получим суммарный вектор потока энергии

е "=" (\frac{1}{2} р в^{2} + р ε) в + [π \cdot в] + д

$\mathbf{e} = \left(\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho \varepsilon\right)\mathbf{v} + [\pi \cdot \mathbf{v}] + \mathbf{q}$

Обратите внимание, что $[\pi \cdot \mathbf{v}] = p\mathbf{v} + [\tau \cdot \mathbf{v}]$ , и $\rho\varepsilon\mathbf{v} + p\mathbf{v} = \rho\left(\varepsilon + \frac{p}{\rho}\right)\mathbf{v} = \rho h \mathbf{v}$ , т.е.

е "=" (\frac{1}{2} р в^{2} + р час) в + [т \cdot в] + д

$\mathbf{e} = \left(\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho h\right)\mathbf{v} + [\tau \cdot \mathbf{v}] + \mathbf{q}$

Это означает, что в картину действительно входит энтальпия, $\rho \mathbf{v} h = \mathbf{j} h$ будучи потоком, относящимся к вашему вопросу.

Это поток из-за объемного движения, которое, я согласен, должно включать энтальпию. Я спрашиваю о потоке из-за диффузии.

Поток энергии вследствие диффузии

пользователь1476176

Qмеханик

Ответы (2)

пользователь1476176

Н. Дева

большой

пользователь1476176

Диффузия газа в жидкости при изменении давления и растворимости (химический потенциал)

Химические потенциалы многокомпонентных твердых тел

Справедливость конститутивных диффузионных потоков

Определение химического потенциала

Почему для описания паровых явлений используется парциальное давление, а не химический потенциал?

Как измерить процентное содержание азота в Nitro Coffee

Почему dG<0dG<0dG < 0 означает самопроизвольный характер процессов, включающих химические реакции?

Падение напряжения на клеточной мембране

Применим ли закон диффузии Фика к средам с разным давлением без мембраны?

Уравнение теплопроводности: тепловое ядро при t→0t→0t\to0