О 2+1-мерной суперконформной алгебре

Я хотел бы получить некоторую помощь в интерпретации основного уравнения суперконформной алгебры (в$2+1$размеры), как указано в уравнении 3.27 на странице 18 этого документа . Я знаком с алгеброй суперсимметрии, но все же это обозначение кажется мне очень непонятным.

• В приведенном выше уравнении для фиксированного$i$,$j$,$\alpha$,$\tilde{\beta}$последний срок,$-i\delta_{\alpha , \tilde{\beta}} I_{ij}$будет$\cal{N} \times \cal{N}$матрица для$\cal{N}$расширенная суперсимметрия в$2+1$размеры. Верна ли эта интерпретация?

(..где я думаю$I_{ij}$является векторным представлением$so(\cal{N})$дается как,$(I_{ij})_{ab} = - i(\delta _{ia}\delta _{jb} - \delta _{ib} \delta _{ja})$..)

• Теперь, если вышесказанное так, то есть ли неявное$\cal{N} \times \cal{N}$единичная матрица, умноженная на первый член,$i \frac{\delta_{ij}}{2} [(M'_ {\mu \nu}\Gamma_\mu \Gamma_\nu C)_{\alpha \tilde{\beta}} + 2D' \delta _ {\alpha \tilde{\beta}}]$?

Поэтому я предполагаю, что уравнение следует читать как равенство между 2$\cal{N} \times \cal{N}$матрицы. верно?

• Есть ли опечатка в этом уравнении, что первый член должен иметь$(M'_ {\mu \nu}\Gamma^\mu \Gamma ^ \nu C)$вместо всех пространственно-временных индексов$\mu, \nu$быть внизу?

• Я думаю, что в$M' _{\mu \nu}$индексы$\mu$и$\nu$диапазон более$0,1,2...,d-1$для$d-$мерное пространство-время (...здесь$d=3$..) и для этого диапазона в евклидизированной КТП (как здесь) можно заменить$M'_{\mu \nu} = \frac {i}{4}[\Gamma _ \mu , \Gamma _ \nu]$. Это правильно?

• Здесь используется соглашение, где подпись$\eta_{\mu \nu} = diag(-1,1,1) = \eta ^{\mu \nu}$а гамма-матрицы таковы, что$\Gamma^0 = C = [[0,1],[-1,0]], \Gamma ^1 = [[0,1],[1,0]], \Gamma ^ 2 = [[1,0],[0,-1]]$а затем матрица зарядового сопряжения$C$удовлетворяет$C^{-1} \Gamma ^\mu C = - \Gamma ^{\mu T}$и$[\Gamma ^\mu , \Gamma ^\nu]_+ = 2 \eta ^\mu \eta ^\nu$

Затем$M^{\mu \nu}\Gamma _\mu \Gamma _ \nu = -3i [[1,0],[0,1]]$

Теперь для конкретного случая этого уравнения позвольте мне обратиться к нижней части страницы.$8$и начало страницы$9$этой бумаги .

• В литературе по физике какое неявное уравнение/соглашение определяет представление$SO(N)$с наибольшим весом$(h_1, h_2, ... , h_{[\frac{N}{2}]})$?

Я нигде не мог найти уравнение, определяющее$h_i$с

• Как происходит выбор веса$Q$оператор, как указано в нижней части страницы 8, определяет значения$i$и$\alpha$что входит в правую часть антикоммутационного уравнения, описанного в первой половине?

И как он определяет то же самое для$S$оператор, который из-за евклидизации связан как ,$S^{'}_{i \alpha} = (Q^{'i \alpha})^\dagger$(...Полагаю, что повышение и понижение индексов здесь не имеет значения...)

• Теперь, учитывая выбор, указанный в нижней части страницы 8 в статье выше, а также отношение эрмитовости SQ и соотношение антикоммутации в первой половине этого вопроса, как можно доказать соотношение, заявленное в верхней части страницы 9, которое эффективно ,$[Q^{'i\alpha},S^{'}_{i\alpha}]_+ = \epsilon_0 - (h_1 + j)$

Наверное$\epsilon_0$это обвинение в соответствии с$D'$первой половины, определенной для оператора$A$(скажем) как$[D',A] = -\epsilon _0 A$хотя я не вижу точного определения$h_i$песок$j$в терминах RHS антикоммутационного отношения QS, как описано в первой половине вопроса.

• Делает ли что-нибудь о вышеизложенном$[Q^{'i\alpha},S^{'}_{i\alpha}]_+ = \epsilon_0 - (h_1 + j)$зависит от того, каково значение$\cal{N}$? Я думаю, это может быть$2$как в этой статье или$3$и это все равно будет то же самое выражение.

Было бы здорово, если бы кто-то помог с этим.