Правильное определение фактора Клейна

Предисловие

Полное понимание факторов Клейна — это одна из тех вещей, которые на самом деле не имеют значения, за исключением тех случаев, когда они имеют значение… Я думаю, именно поэтому в литературе вы найдете много разных, казалось бы, несовместимых версий. Я также нашел это запутанным, когда изучал бозонизацию, поэтому я чувствую вас. В конце концов я наткнулся на записи лекций Шульца, Куниберти и Пьери, которые оказались очень полезными. (В версии arXiv соответствующее обсуждение идет после уравнения (4.17) и в приложении. В версии, опубликованной Springer, оно идет после уравнения (2.96) и в приложении. Вывод Холдейна в его статье 1979 г. ) также может быть полезным, хотя и считается менее простым.)

Какое правильное определение?

Мы часто начинаем с фермионного гамильтониана и бозонизируем его. Как вы сказали, идея факторов Клейна состоит в том, чтобы гарантировать, что бозонизированная версия точно воспроизводит фермионную. Есть две вещи, которые бозонные поля сделать не могут, и лекарство от них состоит в том, чтобы ввести факторы Клейна.

1. Обеспечение антикоммутации между различными видами фермионов
2. Соедините разные сектора с числом фермионов

Определение, данное у фон Дельфта и Шёллера, достигает именно этого. Когда нас интересуют термодинамические свойства (например, корреляционные функции как$L\rightarrow \infty$), однако тот факт, что факторы Клейна изменяют число частиц, сводится к исчезающему сдвигу в$k_F$. Следовательно, этой структурой часто пренебрегают, и остается гораздо более простой на вид фактор Клейна. Часто используется представление в терминах гамма-матриц Дирака, которое подчиняется знакомой алгебре Клиффорда. (Их часто рассматривают как какой-то вымышленный майорановский фермион.) По моему опыту, это наиболее распространенная форма факторов Клейна, встречающаяся в литературе.

Предположим, что мы работаем в термодинамическом пределе и выбрали представление «Майорана» для наших факторов Клейна, которые я буду обозначать$\eta$. Мы бозонизируем все члены в нашем гамильтониане и решаем сгруппировать их в соответствии с их факторными частями Клейна. Если эти (из-за отсутствия лучшего слова) «префакторы фактора Клейна» коммутируют, мы можем предположить, что находимся в определенном секторе этого$4\times 4$Клейна и замените эти префакторы их собственными значениями. Это можно считать своего рода фиксацией калибра.

Хороший пример того, как это работает на практике, см. в приложении к книге Schultz et al. конспект лекций. Если мы действительно сделаем это, заменив эти префакторы их собственными значениями, ведь мы получили чисто бозонный гамильтониан! Значительная часть литературы делает этот скачок сразу и предполагает, что это возможно, как бы игнорируя факторы Клейна. Честно говоря, это обычно возможно, по крайней мере, во многих физически значимых случаях, таких как фермионы с внутренней SU(N)-симметрией.

Короче говоря, в зависимости от того, какую систему вы хотите описать, могут быть доступны различные подходящие варианты факторов Клейна.

О факторах Клейна в статье Тео и Кейна

Я не проверял это тщательно, но я ожидаю, что они неявно предполагают, что находятся в термодинамическом пределе. Тогда все, для чего нам нужен фактор Клейна, это чтобы получить правильные соотношения антикоммутации, которые могут быть достигнуты различными способами (как отмечено, например, в заметках Сенешаля о бозонизации ). Вы заметите, что форма, которую они используют в уравнении. (A3) очень похоже на то, как антикоммутационные соотношения применяются в преобразовании Джордана-Вигнера от спинов к фермионам. Преимущество такого типа фактора Клейна* состоит в том, что нет необходимости вводить дополнительное гильбертово пространство для собственных состояний Клейна.

* Я не уверен, что это подходящее имя, но они его используют, так что я его оставлю.