Преобразование Джордана-Вигнера против бозонизации

Я занимаю другую позицию, чем Qmechanic: бозонизация — это «просто» континуальная версия преобразования Джордана-Вигнера . Конечно, Qmechanic прав в том, что теории поля намного тоньше, чем теории решеток. Тем не менее, тот факт, что JW настолько прост, не означает, что он не имеет отношения к бозонизации, на самом деле верно обратное: он делает бозонизацию намного проще для отслеживания, как, например, обсуждалось Фишером и Глазманом .

Чтобы сделать мое утверждение более конкретным, я бы сказал, что следующая диаграмма коммутирует :

$$\begin{array}{ccc} \textrm{fermionic chain} & \xrightarrow{\textrm{Jordan-Wigner}} & \textrm{spin chain} \\ \downarrow \small \textrm{continuum} & \circlearrowleft & \downarrow \small \textrm{continuum} \\ \textrm{fermionic field theory} & \xrightarrow{\textrm{bosonization}} & \textrm{bosonic field theory} \end{array}$$

(где в спиновом случае континуальный предел будет взят с использованием спиновых когерентных интегралов по траекториям состояний)

Конечно, можно получить разные описания теории поля, но они будут описывать одну и ту же теорию поля. Точнее, существует локальное отображение, связывающее одно с другим.

В качестве примера, давайте вместо этого начнем с цепочки спинов. В частности, возьмем бесщелевой спин-$\frac{1}{2}$Гамильтониан Гейзенберга$H = \sum \mathbf S_n \mathbf{\cdot S}_{n+1}$. Затем:

$$\begin{array}{ccc} \textrm{interacting fermions} & \xleftarrow{\textrm{Jordan-Wigner}} & H = \sum \mathbf S_n \mathbf{\cdot S}_{n+1} \\ \downarrow \small \textrm{continuum} & \circlearrowleft & \downarrow \small \textrm{continuum} \\ \textrm{interacting fermionic field theory} & \xrightarrow{\textrm{bosonization}} & \begin{array}{c} \textrm{Wess-Zumino-Witten }SU(2)_1 \\ || \\ \textrm{Luttinger liquid $K=\frac{1}{2}$ } \end{array} \end{array}$$ (где описание LL исходит из бозонизации, а описание WZW исходит из континуального предела спиновой модели), и обе результирующие теории поля действительно эквивалентны после локальной переотождествления операторов. В частности, они имеют одинаковые размерности масштабирования для локальных операторов, например, наименьший размер масштабирования для WZW. $SU(N)_1$является $\frac{N-1}{N} = \frac{1}{2}$а для ЛЛ есть $\frac{1}{4K} = \frac{1}{2}$.

I.1 ) Преобразование Жордана-Вигнера (JW) . Пусть задана бозонная алгебра Гейзенберга канонических коммутационных соотношений (CCR)

$$[a_i,a_j^{\dagger}] ~=~\delta_{ij} {\bf 1}, \qquad [a_i,a_j] ~=~0, \qquad [a_i^{\dagger},a_j^{\dagger}] ~=~0, \qquad i,j~\in~\{1,\ldots, N\},\tag{1}$$

$$n_i~\equiv~a^{\dagger}_i a_i \qquad\qquad\text{(no sum over $i$)}. \tag{2}$$

затем

$$[n_i, a_j]~=~-\delta_{ij}a_j, \qquad [n_i, a^{\dagger}_j]~=~\delta_{ij}a^{\dagger}_j,\tag{3}$$ $$\{(-1)^{n_i}, a_i\}_+ ~=~ 0, \qquad\{(-1)^{n_i}, a^{\dagger}_i\}_+ ~=~ 0, \qquad\qquad\text{(no sum over $i$)};\tag{4}$$

$$[(-1)^{n_i}, a_j] ~=~ 0, \qquad [(-1)^{n_i}, a^{\dagger}_j] ~=~ 0, \qquad\text{if}\qquad i~\neq ~j .\tag{5}$$

I.2) Преобразование JW определяется как

$$c_k ~\equiv~ (-1)^{\sum_{i=1}^{k-1}n_i} a_k, \qquad c_k^{\dagger} ~\equiv~ (-1)^{\sum_{i=1}^{k-1}n_i} a_k^{\dagger}, \qquad n_k~=~c^{\dagger}_k c_k. \tag{6}$$

Тогда у нас есть фермионная алгебра Гейзенберга канонических антикоммутационных соотношений (CAR)

$$\{c_k,c_{\ell}^{\dagger}\}_+ ~=~\delta_{k\ell} {\bf 1}, \qquad \{c_k,c_{\ell}\}_+ ~=~0, \qquad \{c_k^{\dagger},c_{\ell}^{\dagger}\}_+ ~=~0, \qquad k,\ell~\in~\{1,\ldots, N\}.\tag{7}$$

II.1) Фермионизация . Здесь мы просто обсудим простейший прототип. Пусть есть киральный/голоморфный бозон $\varphi(z)$в евклидовой 2D CFT с OPE

$${\cal R} \varphi(z) \varphi(w)~\sim~-{\bf 1}~{\rm Ln}(z-w),\qquad z,w~\in~\mathbb{C}; \tag{8}$$

с первичным импульсным током

$$j ~\equiv~i\partial \varphi ;\tag{9}$$

и с киральным тензором энергии-импульса-импульса (SEM)

$$T~\equiv~ \frac{1}{2} :j^2:~ .\tag{10}$$ Бозонные соотношения равного радиуса-коммутатора читаются

$$[\varphi(z),\varphi(w)]~=~-i\pi {\bf 1}~{\rm sgn}(\arg z- \arg w)\qquad\text{for}\qquad |z|~=~|w| ,\tag{11}$$

$$[j(z),\varphi(w)]~=~2\pi {\bf 1}~\delta(\arg z- \arg w)\qquad\text{for}\qquad |z|~=~|w| .\tag{12}$$

II.2) Киральные/голоморфные фермионы определяются через вершинный оператор

$$\psi_{\pm} ~\equiv~ :e^{\pm\varphi}:~;\tag{13}$$ с текущим номером

$$j~\equiv~\pm :\psi_{\pm}\psi_{\mp}:~;\tag{14}$$

и с киральным тензором SEM

$$T~\equiv~\frac{1}{2}:\psi_{\pm} \stackrel{\leftrightarrow}{\partial} \psi_{\mp}:~.\tag{15}$$

OPE становятся

$${\cal R} \psi_{\pm}(z)\psi_{\mp}(-z)~=~ \frac{\bf 1}{2z} ~\pm~ j(0) ~+~2z ~T(0) ~+~{\cal O}(z^2), \tag{16}$$

$${\cal R} \psi_{\pm}(z)\psi_{\pm}(-z)~=~2z ~{\bf 1} ~+~{\cal O}(z^2) .\tag{17}$$ Фермионные антикоммутаторные соотношения равного радиуса читаются

$$\{ \psi_{\pm}(z),\psi_{\mp}(w)\}_+~=~ 2\pi i{\bf 1} ~\delta(\arg z- \arg w)\qquad\text{for}\qquad |z|~=~|w|, \tag{18}$$ $$\{ \psi_{\pm}(z),\psi_{\pm}(w)\}_+ ~=~0 \qquad\text{for}\qquad |z|~=~|w|.\tag{19}$$

За$\arg z\neq \arg w$, уравнения (18/19) следуют непосредственно из уравнений. (11), (13) и усеченная формула БЧХ :

$$e^Ae^B~=~e^{C}e^Be^A, \qquad C~\equiv[A,B], \qquad \text{if}\qquad [A,C]~=~0~=~[B,C]. \tag{20}$$

Дельта-функция в уравнении. (18) следует из простого полюса в уравнении (16).

Бозонные соотношения равного радиуса-коммутатора читаются

$$[\varphi(z),\psi_{\pm}(w)]~=~\pm \pi ~{\rm sgn}(\arg z- \arg w)~\psi_{\pm}(w)\qquad\text{for}\qquad |z|~=~|w| ,\tag{21}$$ $$[j(z),\psi_{\pm}(w)]~=~\pm 2\pi i ~\delta(\arg z- \arg w)~\psi_{\pm}(w)\qquad\text{for}\qquad |z|~=~|w| .\tag{22}$$

III) Мы интерпретируем основной вопрос ОП следующим образом.

Может ли фермионизация (18/19) с$(j, \psi_+, \psi_-)$быть доказано с помощью JW-преобразования (7) с$(n_k, c_k, c^{\dagger}_k)$?

Ответ: Аналогия между дискретной и непрерывной моделями очевидна. Однако JW-преобразование (7) — тривиальный результат, а фермионизация (18/19) — нетривиальный результат в операторнозначной теории распределения. Не стоит пытаться гнаться за тривиальностью сложного в остальном доказательства.

IV) Обратите внимание, что единственный киральный/голоморфный бозон — это всего лишь прототип входа для фермионизации (18/19). Его можно повернуть с помощью Вика в плоскость Минковского 1 + 1D. Существует также антихиральная/антиголоморфная версия. Также существуют разные версии в зависимости от топологии/граничных условий. В случае нескольких киральных бозонов нужны предфакторы коцикла, часто основанные на преобразовании Дж.В./ Клейна .

V) Не существует многомерного аналога фермионизации как таковой, хотя, например, теория суперструн классно разлагает$10=5\times 2$размерное евклидово целевое пространство в произведение 5 2D-плоскостей и применяет фермионизацию в каждой 2D-плоскости.

Использованная литература:

1. С. Мандельштам, Солитонные операторы для квантованного уравнения синус-Гордон, Phys. Ред. D 11 (1975) 3026 .

2. Дж. Полчински, Теория струн, Vol. 2, 1998; п. 11-12.