Представление группы Лоренца

Я немного запутался в представлениях группы Лоренца. Я вижу, что группа Лоренца некомпактна и, следовательно, нет точного неприводимого унитарного конечномерного представления. На самом деле я вижу, что генераторы групп вращений антиэрмитовы, а буст-генераторы эрмитовы, и из-за этого представление не является унитарным. То же самое и в представлении Дирака.

Когда я ввожу группу Пуанкаре, я вижу, что оператор перевода действует на С ∞ функции, поэтому мне также нужны генераторы для бустов и вращений, которые могут дать бесконечное представление группы Лоренца; Поэтому я использую общий оператор углового момента.

Мой вопрос в том, почему у меня нет бесконечномерного представления также и для спиноров? Не потому ли, что спинорные представления группы Лоренца действуют только на спиновые степени свободы?

Более того, во «Введении в квантовую теорию поля» Пескина и Шредера на странице 41 говорится: «Фактически группа Лоренца, будучи некомпактной, не имеет точных конечномерных представлений, которые были бы унитарными. Но это не имеет значения для нас, так как ψ не волновая функция; это классическое поле." Что это значит?! Я запутался!

Почему вы говорите, что не существует бесконечномерных унитарных спинорных представлений? Поле Дирака ψ ( Икс ) является лишь одним из примеров такого представления.
Я думаю , что эти мои ответы должны ответить на ваш вопрос: физика .
@SolenodonParadoxus Не могли бы вы объяснить мне, почему спинор является представлением?
@user129511 user129511 Просто ψ ( Икс ) поле с обычными свойствами преобразования... Подробности приведены в ответе Фредерика Томаса.
«Но для нас это не имеет значения, поскольку 𝜓 — это не волновая функция, а классическое поле». Это утверждение неверно, я думаю, что 𝜓 — волновая функция в гильбертовом пространстве; если вы напишите EOM из 𝜓 как
я ∂ т ψ "=" ЧАС ψ
и ЧАС "=" − я γ 0 γ Дж ∂ Дж + м γ 0 .

Ответы (1)

Спиноры Дирака в релятивистской теории - это конечномерные представления группы Лоренца с особенностью неунитарности.

ψ α "=" Λ β α ψ β

с конечномерными Λ ≈ 1 + 1 2 ю мю ν М мю ν где М мю ν — матрица, принадлежащая образующим группы Лоренца, и ю мю ν антисимметричная матрица, содержащая 3-разм. угол α параметр и 3-dim.velocity в / с параметр.

В нерелятивистской теории вам нужен модуль волновой функции | ψ ′ | 2 "=" ( U ψ ) † U ψ "=" ψ † ψ "=" | ψ | 2 быть инвариантным, что действительно может быть достигнуто только с унитарными представлениями, например с представлениями С О ( 3 ) -группа. Однако соответствующий модуль | ψ | 2 "=" ψ + ψ "=" ψ ¯ γ 0 ψ в релятивистской теории фактически преобразуется как 0-компонента 4-вектора, поэтому он не инвариантен относительно лоренц-преобразований. Так что неунитарность преобразований Лоренца не проблема.

Однако, если вы рассматриваете группу Пуанкаре, вы получаете также бесконечномерные представления со спинорами, которые преобразуются следующим образом:

ψ ′ α ( Икс ′ ) "=" U ( Λ ) ψ α ( Икс ) U ( Λ − 1 ) "=" Д ( Λ − 1 ) β α ψ β ( Λ Икс )

И они бесконечномерны и унитарны.

Для релятивистских спиноров Вейля это довольно похоже, формальные выражения в этом ответе такие же, за исключением того, что размер матриц и их матричных элементов необходимо адаптировать. Прежде всего предварительное выражение, как | ψ | 2 ∼ ψ † А ˙ ψ А (если такое выражение имело какой-либо смысл, я не уверен), образованный спинорами Вейля, также не обязан быть инвариантным, поэтому унитарность представления конечного преобразования Лоренца не требуется.

Для получения более подробной информации необходимо обратиться к литературе. Выбором в этом отношении является, например, книга Средненицкого.

Представление группы Лоренца
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v