Представления группы

Гриффитс использует язык, распространенный среди экспертов, но сбивающий с толку новичков. Когда он говорит, например, что четырехвектор «принадлежит» четырехмерному представлению группы Лоренца, он не имеет в виду, что четырехвектор является членом самого представления; он означает, что четырехвектор является членом пространства представлений , векторного пространства, на котором действует представление.

Линейное представление отображает каждый элемент группы в линейное преобразование в некотором векторном пространстве. Каждое такое преобразование может быть представлено в некотором базисе матрицей. Четырехмерное представление группы Лоренца отображает преобразования Лоренца в$4\times 4$матрицы очевидным образом. Эти матрицы действуют на четырехвекторы, преобразовывая их. Множество всех возможных четырехвекторов является четырехмерным пространством представления.

Между прочим, существуют менее очевидные представления, отображающие преобразования Лоренца на линейные преобразования векторных пространств, которые не являются четырехмерными, и, следовательно, на матрицы, которые не являются четырехмерными.$4\times 4$. Например, бесследовые симметричные четырехмерные тензоры с двумя индексами образуют 9-мерное пространство представления.

Скаляры, векторы и т. д . действительно определены относительно групповой операции (здесь$SO(3)$) и размерности представления в некоторых случаях достаточно для идентификации самого представления.

Возможно иметь представления$SO(3)$размера$2L+1$. Вы можете просто взять состояния с угловым моментом$L$как базисные состояния для несущего пространства. Если размерность$1$( т.е. $L=0$) говорят о скаляре (в этой группе).

Представление в этом контексте будет соответствовать отображению абстрактных операторов в$(2L+1)\times (2L+1)$матрицы, действующие на несущее пространство. Базисные состояния преобразуются или несут представление, а не сами по себе являются представлением.

Очевидным примером может служить представление квадратными матрицами размера$(2L+1)$операторов углового момента$L_{x,y,z}$, которые обычно используются в качестве элементарного упражнения в основах квантовой механики.