Что такое «вектор SO (n) SO (n) SO (n)»?

Уравнение , которое вы дали, действительно является определением матричного умножения, примененного к$d\times d$матрица и$d\times 1$матрица. Но в основе концепции лежит нечто большее.

Суть векторов в том, что они существуют в некотором смысле независимо от чисел, используемых для их представления. Например, обычный трехмерный вектор смещения представляет физическую длину и физическое направление. Это не числа, это абстрактные идеи. Вы получаете числа только тогда, когда выбираете систему координат, а затем сравниваете вектор с осями координат. Различные системы координат дадут вам разные наборы чисел для одного и того же вектора.

Две системы координат могут быть связаны преобразованиями, такими как вращение и отражение. Другими словами, для заданной системы координат А вы можете определить некоторое преобразование, которое превращает ее в систему координат В, и вы можете получить$d\times d$матрица,$R_{d\times d}$, который представляет это преобразование. Что делает вектор вектором, так это то, что числа, описывающие вектор в системе координат A, и числа, описывающие вектор в системе координат B, связаны одной и той же матрицей.

Группа всех возможных преобразований имеет какое-то имя. Например,$SO(3)$это группа всех вращений в трехмерном пространстве. Соответственно, все, что ведет себя как вектор (то есть следует уравнению 1) при вращении трехмерной системы координат, называется вектором$SO(3)$или$SO(3)$вектор.

Если это кажется очевидным, позвольте мне указать, что есть наборы величин, которые не ведут себя таким образом, особенно когда вы начинаете говорить о других видах преобразований, помимо трехмерных вращений. Например, все возможные преобразования Лоренца, включая повороты и повышения, образуют группу$SO(3,1)$. Энергия и импульс (одной частицы) образуют вектор$SO(3,1)$, так как они меняются в соответствии с уравнением (1) (при$R_{d\times d}$являющийся матрицей преобразования Лоренца) при смене системы отсчета. Но электромагнитное поле — нет. На самом деле вам нужны два фактора$R_{d\times d}$для учета того, как электромагнитные поля меняются между системами отсчета. Это делает электромагнитное поле тензором второго ранга$SO(3,1)$.

Я также хотел бы отослать вас к этому моему вопросу по математике о значении «физического векторного пространства», который касается разницы между математическим вектором и физическим вектором. Только последний подчиняется требованию уравнения (1).

Да, он определил вектор как ведущий себя таким образом (поворот вектора эквивалентен изменению базиса), иначе он не был бы вектором. Тензор - это объект другого типа, он имеет как минимум два индекса и ведет себя иначе, чем вектор при преобразовании координат (как определено в вашей книге). Вы, вероятно, могли бы прочитать больше о линейной алгебре до тензоров, прежде чем читать книгу по физике (это облегчит вашу жизнь), потому что в физике они вводятся как очевидные вещи, но это довольно хорошо определенные математические понятия. На противоположном конце находится скаляр, который не меняется при преобразовании координат.

В контексте, например, псевдоортогональной группы Ли

псевдоортогональных матриц$\Lambda$для метрики

"вектор$O(p,q)$"является элементом$n$-мерное векторное представление (также известное как определяющее представление или фундаментальное представление)$O(p,q)$.

См. также соответствующий пост Phys.SE.