Почему симметрии помечаются группами, а не представлениями?

Физики скажут, что некоторая система имеет г симметрия, где г какая-то группа, например С U ( 2 ) или С 3 или что-то еще. Чтобы показать, что это так, они приведут в воображении явное представление р г этой группы и показать, что уравнения движения — или действия, или что-то еще — остаются теми же. Но группа является более общей, чем конкретное представление этой группы, поэтому их объединение кажется неправильным.

Так что же значит «система имеет г симметрия" имеется в виду?

  1. Я не думаю, что это может означать: «Существует представление р г из г это симметрия системы», поскольку это тривиально верно для всех г .
  2. Я полагаю, это может означать «Для всех представлений р г из г в векторном пространстве системы В , р г является симметрией.» Если это так, я никогда не видел, чтобы это гораздо более сильное утверждение было показано на самом деле, но, возможно, я упускаю что-то очевидное.
  3. Зная моих коллег, это могло означать просто «Есть определенные представления р г из г это симметрия. По культурным и лингвистическим причинам мы просто забудем информацию о представлении, с которой вы можете разобраться самостоятельно».
  4. Что-то совсем другое?

Ответы (1)

Я бы сказал, что это означает, что у меня есть лагранжиан л это зависит от множества полей. Я могу преобразовать эти поля под г . Они могут трансформироваться или не трансформироваться под одним и тем же представлением р г какой-то группы г . Объекты в любом заданном представлении не инвариантны относительно группы (если они не находятся в тривиальном представлении). Это система в целом. Значит, система действительно обладает симметрией г , нет р г .

Примеры:

  • В КХД имеется калибровочная симметрия SU(3). Кварки трансформируются под фундаментальным. Глюоны преобразуются при сопряженном. Барионы являются скалярами относительно SU (3). Это все разные представления, но симметрия системы в целом — это групповая симметрия. г "=" С U ( 3 ) .
  • Глобальная симметрия Лоренца. В Стандартной модели есть скаляры (не преобразовывать), фермионы (спин 1/2 rep) и векторные бозоны (спин 1). Все они представлены в разных представлениях, но вся система имеет симметрию Лоренца.
  • Конформная симметрия. У одного есть разные операторы конформного веса, но все преобразуется под одной и той же конформной симметрией.

Другими словами, система обладает симметрией г , у него есть разные компоненты, на все из которых по-разному влияет преобразование симметрии в г , но в итоге система остается инвариантной относительно действия г в целом, а не какое-либо конкретное представление.

Уточнение:

Возьмем лагранжиан л для представления нашей « системы » (вы также можете взять действие или функцию распределения, в зависимости от того, насколько общими вы хотите быть, но давайте пока остановимся на лагранжиане). Лагранжиан зависит от разных полей ф р г я находящиеся в разных представлениях р г я . Мы можем сформулировать это следующим образом:

л "=" л ( ф р г 1 , ф р г 2 , . . . , ф р г н ) .

Теперь утверждение о том, что система обладает определенной симметрией, означает, что лагранжиан л не меняется. Или другими словами л находится в тривиальном представлении г .

Список полей, от которых зависит система (лагранжиан), может преобразовываться любым множеством способов под действием группы г , поскольку лагранжиан преобразуется тривиально , то можно сказать, что система имеет группу симметрии г .

Я не верю, что это отвечает на мой вопрос: я понимаю, что каждое поле преобразуется при представлении G. Затем набор полей преобразуется как конкретное представление G, продукт отдельных повторений. Это представление произведения соответствует лагранжиану. Приведенные примеры, кажется, подразумевают, что выбранное представление имеет очень большое значение! Если я выберу только один набор полей и перейду к тривиальному представлению на нем, лагранжиан перестанет быть симметричным относительно действия G! Но с точки зрения теории представлений тривиальная репутация — это вполне хорошая репутация.
@F.Bardamu Я не понимаю твоей точки зрения. Если у вас есть поля, которые преобразуются при другом представлении, но теперь лагранжиан не является инвариантным, то у вас нет этой симметрии. Представления просто говорят вам, как различные объекты изменяются при преобразовании группы. Если лагранжиан не инвариантен, то это преобразование не является симметрией системы.
Именно в этом и состоит проблема: если система симметрична относительно одного представления группы G, но не симметрична относительно другого представления группы G, то зачем говорить «Система симметрична относительно группы G», если более точным утверждением будет «Система симметрична относительно группы G». это конкретное представление rho_G группы G"?
@ F.Bardamu Я действительно не понимаю, как вы поняли это из моего комментария. Всякий отдельный объект в лагранжиане, который не преобразуется тривиально (читай « преобразуется в любом другом представлении »), не является симметричным относительно него именно потому, что он изменяется относительно группы G. Мы говорим, что система в целом обладает симметрией г если система в целом не меняется, даже если отдельные компоненты изменяются. Возьмем, к примеру, ГР. У вас есть векторы и тензоры, и все они изменяются по-разному (в разных представлениях), но действие Гильберта не изменяется, следовательно, и уравнения не изменяются.
Следовательно, система инвариантна к диффеоморфизму, хотя отдельные объекты в своих различных представлениях действительно изменяются.
@F.Bardamu Я добавил уточнение к ответу. Надеюсь, это поможет.
@ F.Bardamu «Если система симметрична при одном представлении G, но не при другом представлении G». Если вы меняете представление одного из полей, вы меняете содержимое поля, поэтому вы меняете систему . . Например, фундаментальное представление SU(3) имеет 3 степени свободы, а сопряженное — 8. Рассмотрение полей в разных представлениях означает, что вы рассматриваете другую физику. Поэтому, естественно, изменение некоторых из них превратило бы систему, которая раньше имела симметрию, в систему, в которой ее больше нет.
Извините, возможно, я туплю, но определение в вашем разъяснении кажется верным для любой группы G, что делает «система симметрична относительно G» бессодержательной. Просто пусть различные rho_G будут тривиальным представлением (или столько его копий, сколько необходимо для соответствия размерам).
Почему симметрии помечаются группами, а не представлениями?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v