Образуют ли спиноры векторное пространство?

Его записи звучат немного запутанно. Он правильно говорит, что группа SU(2) не является векторным пространством, но, кажется, думает, что это означает, что векторы-столбцы, на которые действует SU(2)-матрица, не образуют векторного пространства. Я думаю, что он может иметь в виду орбиту, которую вы получаете, когда выбираете фиксированный начальный спинор.${\bf v}_0$и рассмотрим набор, который вы получите, воздействуя на него всеми возможными матрицами SU (2). Это подмножество спиноров ( орбита${\bf v}_0$) не является векторным пространством, но это не означает, что множество всех спиноров не является векторным пространством.

Я надеюсь описать вещи хорошо:

Вот цитата из его в упомянутой ОП монографии From Spinors To Quantum Mechanics, стр. 48-49:

На самом деле групповая структура группы вращений существует без какой-либо ссылки на вектор$\mathbf{R}^3$. Все, что действительно определяет структура группы, — это таблица умножения элементов группы. Такую таблицу умножения можно рассматривать как экстраполяцию на бесконечную группу$G$того, что такое таблица Кэли для конечной группы. Рассмотрение вращений как элементов группы вводит реальный сдвиг парадигмы: вращение рассматривается как функция, действующая на другие вращения, а не на векторы. (сноска 1) Действие этой функции на другие повороты — просто левое умножение с групповым элементом в абстрактной группе, [...]

Теперь цитирую сноску 1

Настоящими объектами изучения в теории групп являются не векторы, а элементы$F(\mathbf{R}^3, \mathbf{R}^3)$( множество всех отображений из$\mathbf{R}^3$себе — мое замечание ), как абстрактные аксиомы группы лишают векторов гражданства, полностью игнорируя их и исключая из формулировки. Законом композиции, который является предметом изучения, является композиция функций.

Здесь происходит то, что он удаляет ссылку на векторы в$\mathbf{R}^3$в целом, используя так называемое представление автоморфизма (универсального покрытия) группы вращений (т.е.$g_j\in\text{SU}(2) \mapsto f_g(g_j):= g\circ g_j$), и

Следовательно, векторы-столбцы 2 × 1, с которыми работают матрицы 2 × 2 представления, должны кодировать повороты

Это кодирование на самом деле означает, что сумма двух векторов-столбцов 2 x 1 не будет кодировать вращение , поэтому он заключает, что спиноры образуют не векторное пространство, а сами по себе многообразие спиновой группы.$\text{SU(2)}$(или$\text{SL(2},\mathbb{C})$для лоренцевых спиноров).

Вот его мастер-страница 51, описывающая всю конструкцию для пространственных вращений.

По сути, это новая теория спиноров. Тот факт, что спиноры являются непосредственно элементами спиновой группы, является новым подходом к стандартному подходу в литературе по КМ/КТП, в котором спиноры являются элементами топологического векторного пространства, несущими непрерывное представление универсальной накрывающей группы вращений в евклидовом пространстве/пространстве Минковского. (время). Взгляд Кодденса - это предложение в духе Картана, в котором геометрия является изначальной, и он утверждает, что предлагает альтернативу подходу Пенроуза / Риндлера к спинорам. Традиционный взгляд на спиноры исходит из (аксиоматической) квантовой теории поля и, по сути, является алгебраическим/функционально-аналитическим благодаря оригинальным идеям ван дер Вардена/Вигнера/Баргмана.

Я только бегло просмотрел статью Кодденса, но, если я правильно понимаю, то, что он делает, эквивалентно утверждению, что набор единичных векторов не является вектором, потому что они не образуют векторное пространство. Вы не можете «сложить» два единичных вектора вместе и всегда получить другой единичный вектор.

В своем введении он упоминает Гестена и геометрическую алгебру, что, на мой взгляд, дает гораздо более ясную интуитивную геометрическую картину спиноров. (Мне не ясно, почему он отвергает это.) В геометрической алгебре спиноры — это просто четные подалгебры — линейные комбинации всех произведений четного числа базисных векторов. Поскольку каждый базисный вектор представляет собой (ориентированное) отражение, пары базисных векторов представляют повороты (т.е. пары отражений).

В 2D геометрическая алгебра состоит из линейных комбинаций скаляра (1), двух базисных векторов (x и y) и бивектора, представляющего плоскость (xy). Четная подалгебра — это линейная комбинация$1, xy$где$(xy)^2=-1$. Таким образом, двумерные спиноры — это просто комплексные числа.

В 3D геометрическая алгебра состоит из скаляра (1), трех базисных векторов (x, y, z), трех бивекторов, представляющих координатные плоскости (yz, xz, xy), и тривектора (xyz), представляющего ориентированный элемент объема. Четная подалгебра — это линейная комбинация$1, yz, xz, xy$где$(yz)^2=(xz)^2=(xy)^2=-1$. Таким образом, трехмерные спиноры — это просто кватернионы.

Если у нас есть два общих вектора$a$и$b$, затем$ab=a\cdot b+a\wedge b=|a||b|(\textrm{cos }\theta+B \textrm{sin }\theta)$где$B$является единичным бивектором в плоскости$a$и$b$и$\theta$это угол между ними. Если перемножаемые векторы параллельны, результатом будет чистый скаляр, если они перпендикулярны, то результатом будет чистый бивектор. Скалярное произведение известно из векторной алгебры и представляет собой всего лишь скалярную часть геометрического произведения. Произведение клина является бивекторной частью и двойственно векторному произведению векторной алгебры. (Мы должны использовать двойственный вектор, чтобы превратить его в другой вектор, потому что векторная алгебра не может справиться с бивекторами. Однако это не работает идеально, потому что оно неправильно преобразуется при отражении, т. е. перекрестное произведение дает «псевдовектор», а не Псевдовекторы на самом деле являются бивекторами.) Таким образом, оба произведения векторной алгебры объединяются в одно произведение геометрической алгебры и соответствуют нахождению «действительной» и «мнимой» компонент спинора.

Комплексное вектор-столбцовое представление спиноров возникает из-за того, что мы заметили, что$xy$действует как воображаемая единица$i$, так$\alpha(1)+\beta(xy)=\alpha+\beta i$и$\gamma(yz)+\delta(xz)=(\gamma+\delta(xy))(yz)=(\gamma+\delta i)(yz)$поэтому кватернион можно закодировать как два комплексных коэффициента векторного пространства по базе$1, yz$.

В геометрической алгебре спиноры реализуют вращение сопряжением. Чтобы повернуть вектор$v$вращением, представленным спинором$S$, мы нашли$SvS^{-1}$. Если$S$имеет норму, отличную от 1, то$S^{-1}$имеет обратную норму, и они сокращаются. Вот почему (ненулевое) скалярное кратное спинора соответствует одному и тому же вращению, и поэтому мы можем складывать спиноры без каких-либо проблем. Мы обычно используем единичные спиноры (называемые роторами) для представления вращений, чтобы у нас было однозначное представление, подобно тому, как мы обычно используем единичные векторы для представления таких вещей, как нормали к поверхности, где длина не имеет значения. (То есть, как комплексный вектор-столбец, они являются «унитарными» и преобразуются как SU (2).) Но использование единичных спиноров для представления вращений не означает, что они не являются элементами векторного пространства больше, чем использование единичные векторы. Это также тот случай, когда знак также отменяется, поэтому$-S$дает такое же вращение, как$S$, но это не тот же спинор.

Я считаю, что геометрически лучший способ визуализации трехмерного спинора — это угол между парой ориентированных плоскостей отражения. («Ориентированный» означает, что плоскость имеет четко определенные переднюю и заднюю части.) Если плоскости идентичны, отражения сокращаются, и получается идентичность. (т. е. с параллельными векторами мы получаем чистый скаляр 1.) Когда вы поворачиваете одну плоскость по отношению к другой, результатом является поворот на удвоенный угол между плоскостями вокруг оси, вдоль которой плоскости пересекаются. Когда угол между плоскостями достигает 180 градусов, плоскости параллельны, но с нормалями в противоположных направлениях. Опять же, отражения компенсируются, так что это представляет собой вращение на 360 градусов, но это не тот же самый спинор! Угол 180 градусов означает, что одна плоскость является отрицательной по отношению к другой. Если вы продолжите вращать плоскости отражения, в конечном итоге угол в 360 градусов между отражениями соответствует повороту на 720 градусов, и мы снова получаем тождество. Неправда, что вращение спинора на 360 градусов дает противоположный знак, и вам нужно повернуться на 720 градусов, чтобы вернуться к тому, с чего вы начали. Что происходит, так это то, что поворот спинора на угол увеличиваетсоответствующее вращение на удвоенный угол, поэтому поворот спинора на 180 градусов отрицает спинор, но поворачивает вращение прямо, а поворот спинора на 360 градусов соответствует повороту на 720 градусов. Спинор — это не вращение — это угол между парой (ориентированных) плоскостей отражения, которые его составляют.

Таким образом, спиноры имеют вполне понятную геометрическую интерпретацию.

Позвольте мне забрать из сообщения DanielC. Идею о том, что матрица-столбец может представлять элемент группы, также можно найти в любом регулярном представлении конечной группы. Рассмотрим, например, группу перестановок$S_{n}$. Мы можем произвольно обозначить каждый из$n!$перестановки$p_{j} \in S_{n}$с номером$j \in [1,n!]\cap{\mathbb{N}}$. Порядок, в котором элементы группы получают таким образом, не имеет значения. Подойдет любой заказ. Затем регулярное представление дается выражением$n! \times n!$матрицы представления и каждый групповой элемент$p_{j}$также представлен$n! \times 1$матрица${\mathbf{p}}^{(j)}$, записи которого$[\,{\mathbf{p}}^{(j)}\,]_{k} = \delta_{kj}$. То есть все записи принимают значение$0$кроме того что в сети$j$, который принимает значение$1$. Квадратная матрица, представляющая элемент группы$p_{j}$будет просто представлять$p_{j}$по групповому автоморфизму:$T_{p_{j}}: q\in S_{n} \rightarrow T_{p_{j}}(q) = p_{j} \circ q \in S_{n}$. Мы могли бы назвать$n! \times 1$матрицы-столбцы${\mathbf{p}}^{(j)}$"векторы-столбцы", и они будут охватывать "векторное пространство"$(V,{\mathbb{K}})$над некоторым числовым полем${\mathbb{K}}$это может быть${\mathbb{R}}$или${\mathbb{C}}$. Группа$S_{n}$тогда было бы конечным дискретным подмножеством (из$n!$точек) векторного пространства$(V,{\mathbb{K}}) = ({\mathbb{K}}^{n!},{\mathbb{K}})$. Это будет ортонормированный базис для$(V,{\mathbb{K}})$. Но это просто мелкая чепуха, потому что в представлении сумма${\mathbf{p}} + {\mathbf{q}}$из двух таких$n! \times 1$матрицы-столбцы${\mathbf{p}}$и${\mathbf{q}}$по изоморфизму будет соответствовать сумме двух перестановок, как в уравнении 1 Symmetry, 13, 659 (2021).

Совершенно очевидно, что эта операция просто не определена, и то же самое верно для любой другой линейной комбинации.$\sum_{j=1}^{n!} c_{j} {\mathbf{p}}^{(j)}$, с$c_{j} \in {\mathbb{K}}, \forall j \in [1,n!] \cap{\mathbb{N}}$, который не принадлежит$S_{n}$. Все точки${\mathbb{K}}^{n!}\backslash S_{n}$априори бессмысленны . Только одна операция определяется аксиомами группы.

По той же причине в ОТО искривленное пространственно-временное многообразие следует рассматривать не как вложенное в векторное пространство, а как внутренне описываемое. Точки, которые вам пришлось бы добавить, чтобы получить расширение в виде векторного пространства, в которое можно было бы вложить криволинейное многообразие, физически не существуют. Это векторное пространство должно быть${\mathbb{R}}^{5}$, точно так же, как двумерная поверхность сферы вложена в${\mathbb{R}}^{3}$. Точки расширения на${\mathbb{R}}^{5}$которые не принадлежат пространству-времени, были бы просто физически бессмысленными.

Рассмотрим теперь комплексное векторное пространство${\mathbb{C}}^{2}$и общий момент$(\zeta_{1},\zeta_{2}) \in {\mathbb{C}}^{2}$этого. Пока с этим ничего не сделано, такая точка не имеет очевидного физического смысла. Первый шаг состоит в указании на то, что спиноры$\psi = [\,\zeta_{1},\zeta_{2}\,]^{\top}$SU(2), которым можно придать смысл поворотов вокруг начала координат в${\mathbb{R}}^{3}$, принадлежат множеству${\mathscr{C}} = \{ (\zeta_{1},\zeta_{2})\parallel \zeta^{*}_{1}\zeta_{1} + \zeta^{*}_{2}\zeta_{2} = 1\} \subset {\mathbb{C}}^{2}$. Эти спиноры являются изометриями, т. е. особыми элементами векторного пространства$L({\mathbb{R}}^{3},{\mathbb{R}}^{3})$. Это геометрические/физические операторы. Каждому вращению соответствуют два спинора, идентичных с точностью до множителя.$\pm 1$. Таким образом, каждое вращение определяет две точки искривленного многообразия.${\mathscr{C}}$, но верно и обратное: каждая такая пара точек${\mathscr{C}}$соответствует вращению, т. е. паре спиноров SU(2), которая является двойным накрытием SO(3) в силу самого существования этих двух возможных множителей$\pm 1$. Самый простой способ доказать это - определить$(\zeta_{1},\zeta_{2})$с выражением для спинора, которое соответствует вращению$R(\alpha,\beta,\gamma)$где$(\alpha,\beta,\gamma)$- его углы Эйлера, например, заданные первым столбцом матрицы в уравнении. 1.2.29 книги Я. Хладика. Поэтому${\mathscr{C}}\equiv$СУ(2). Мы можем рассмотреть многообразие${\mathscr{C}}$встроенный в${\mathbb{C}}^{2}$. С точки зрения действительных чисел, группа вращения, представленная${\mathscr{C}}$, тогда трехмерное многообразие, вложенное в четырехмерное векторное пространство${\mathbb{C}}^{2} \equiv {\mathbb{R}}^{4}$. Ситуация полностью аналогична ситуации с четырехмерным пространством-временем, вложенным в${\mathbb{R}}^{5}$как описано выше.

Следовательно, алгебраически возможно вычислить линейные комбинации$c_{1}\psi_{1} + c_{2}\psi_{2}$, где$(c_{1},c_{2}) \in {\mathbb{C}}^2$или рассматривать элементы${\mathbb{C}}^{2} \backslash {\mathscr{C}}$но это чисто формально и априори лишено всякого геометрического смысла с точки зрения какого-либо элемента$L({\mathbb{R}}^{3},{\mathbb{R}}^{3})$, что является естественным вложением группы вращений SO(3)$\subset L({\mathbb{R}}^{3},{\mathbb{R}}^{3})$. Какой другой вид вложения SO (3) мы могли бы еще представить, чтобы дать$(\zeta_{1},\zeta_{2}) \in {\mathbb{C}}^{2} \backslash {\mathscr{C}}$значение?

Этот аргумент подобен аргументу, сделанному для$S_{n}$, но на этот раз группа является группой Ли и, следовательно, уже не дискретным конечным множеством, а дифференцируемым многообразием.

Вопрос сложный, потому что мы должны ответить на следующий вопрос: «можно ли сделать суперпозицию разных спиноров одного и того же ранга?». Математически - да, мы можем, почему бы и нет? Это просто вопрос определения спинорного пространства, но физически мы не можем, потому что энергия системы может зависеть от конкретной конфигурации спина, поэтому разные спиноры принадлежат разным собственным векторам Гамильтона. , и мы должны делать суперпозиции полных волновых функций, зависящих от времени, а не только их спинорных частей, я полагаю.

Г. Оганян (Am. J. Phys. 54 (6) 1986) пытался придать «классический» смысл вращению как угловому моменту спинорного волнового пакета. Наиболее существенной частью его расчетов является затухание волнового пакета в поперечных направлениях. Но это затухание есть лишь упрощенное (математическое) описание влияния источника частиц и окружающего вещества. Могу смело сказать, что спин — это свойство элементарного возбуждения сложной системы (мира).