Значение аппроксимации cos(ϕ)=ϕ22e−12⟨ϕ2⟩cos⁡(ϕ)=ϕ22e−12⟨ϕ2⟩\cos(\phi)=\frac{\phi^2}{2}\mathrm{e}^ {-\frac{1}{2}\langle{\phi^2}\rangle} в теории поля?

В конце концов мне стало легко. Просто потому что$\langle \phi^2 \rangle$неограничен, необходимо расширить нормально упорядоченный оператор вместо исходного, содержащего бесконечный фон. Здесь неявное предположение состоит в том, что мы выполняем усреднение по гармоническому гамильтониану, что позволяет использовать формулу Дебая-Уоллера во втором равенстве ниже

$$\langle \cos\phi \rangle = \frac{\langle\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}\rangle + \langle\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\phi}\rangle}{2} = \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\langle \phi^2 \rangle} = 1-\frac{1}{2}\langle \phi^2 \rangle + \frac{1}{2!}\frac{1}{4}\langle \phi^2 \rangle^2 - \frac{1}{3!}\frac{1}{8}\langle \phi^2 \rangle^3 + \cdots$$ И у нас также есть прямой $$:\cos\phi: = 1-\frac{1}{2!}:\phi^2: + \frac{1}{4!}:\phi^4: + \cdots$$ С другой стороны, по теореме Вика имеем $$\cos\phi = 1 - \frac{1}{2!} \phi^2 + \frac{1}{4!} \phi^4 = 1 - \frac{1}{2!} (:\phi^2:+\langle\phi^2\rangle) + \frac{1}{4!} (:\phi^4:+6\langle\phi^2\rangle:\phi^2:+3\langle\phi^2\rangle^2) + \cdots$$ И в этом легко убедиться $\cos\phi=:\cos\phi: \langle \cos\phi \rangle$. Затем один развернуть $:\cos\phi:$.
Тем не менее, мне все еще интересно, куда делся отсутствующий знак минус....???