Преобразование гамильтониана Джейнса-Каммингса

Question

Преобразование гамильтониана Джейнса-Каммингса

Физика
квантовая оптика
двухуровневая система
квантовая механика
домашнее задание-и-упражнения

Механикс

Это гамильтониан Джейнса-Каммингса в картине взаимодействия: $H_i^n = \hbar g \sqrt{n+1}\begin{pmatrix} 0 & \exp(-i\delta t)\\ \exp(i\delta t) & 0 \end{pmatrix}$

Я хочу преобразовать его в другую основу, чтобы это выглядело так:

$H_{i2}^n = \hbar \begin{pmatrix} -\delta/2 & g \sqrt{n+1}\\ g \sqrt{n+1} & \delta/2 \end{pmatrix}$

Я представляю решение, которое я нашел с помощью DanielSank, и иду ниже.

Даниэль Санк

Можете ли вы физически подумать о том, что вам нужно сделать? Попробуйте написать оригинал

H

$H$ в терминах операторов Паули, а потом подумать, что значит избавиться от временной зависимости. Если ты приложишь немного усилий, я помогу тебе до конца. На этом сайте мы просим вопросы задавать какие-то конкретные и концептуальные. Широкие призывы к решению подобных проблем фактически считаются не по теме и поводом для закрытия вопроса.

Механикс

Привет DanielSank, насколько я понимаю избавиться от временной зависимости означает в данном случае преобразовать нашу систему отсчета так, чтобы она вращалась именно с этой частотой расстройки

δ

$\delta$ , так что наблюдаемая система стационарна. На данный момент мы рассматриваем систему, которая вращается с частотой движущего поля. Однако, похоже, это еще не все, что необходимо сделать здесь. Когда я преобразую этот гамильтониан с помощью матрицы

U = (\begin{matrix} \exp (- i δ t / 2) & 0 \\ 0 & \exp (i δ t / 2) \end{matrix})

$U=\begin{pmatrix} \exp(-i\delta t/2) &0 \\ 0 & \exp(i\delta t /2) \end{pmatrix}$

Механикс

... тогда я могу убить всю зависимость от времени (у меня останутся постоянные недиагональные элементы), но я не могу сделать так, чтобы диагональные элементы выглядели так.

Механикс

Мне непонятно, что делать после написания этого в терминах операторов Паули:

H_{i}^{n} = ℏ g \sqrt{n + 1} \frac{1}{2} ((σ_{x} + i σ_{y}) \exp (- i δ t) + (σ_{x} - i σ_{y}) \exp (i δ t))

$H_i^n=\hbar g \sqrt{n+1}\frac{1}{2}\left((\sigma_x+i\sigma_y)\exp(-i\delta t) + (\sigma_x-i\sigma_y)\exp(i\delta t) \right)$ ... для другого гамильтониана я получаю:

- ℏ σ_{z} δ / 2 + ℏ g \sqrt{n + 1} σ_{x}

$-\hbar \sigma_z \delta/2 + \hbar g \sqrt{n+1}\sigma_x$

Даниэль Санк

Не могли бы вы поместить свою работу в основной пост?

Механикс

Конечно! Без проблем!

Даниэль Санк

В посте вы даете преобразование-кандидат, но не показали результат применения этого преобразования...

маршировать

Обратите внимание, что при преобразовании гамильтониана вам фактически нужно преобразовать и левую (зависящую от времени) часть уравнения Шрёдингера, а поскольку преобразование зависит от времени, вы получаете больше членов при применении правила произведения к произведению. матрицы преобразования и вектора состояния. Вот что принесет те

δ

$\delta$ находится по диагонали.

Даниэль Санк

@march Да, я чувствую, что это то, о чем очень немногие знают в подобных проблемах.

маршировать

@ДэниелСанк. Помогает то, что он вырос в теоретической группе квантовой оптики.

Даниэль Санк

@march Странно то, что, хотя я узнал об «изображении взаимодействия» в школе, мы никогда не делали этого так, как мы с вами говорим здесь. Другими словами, я научился перемещать временную зависимость туда-сюда между состоянием и операторами, но так и не узнал, что можно на самом деле полностью избавиться от нее , войдя во вращающуюся систему координат. Я должен был понять это сам. Удивительно, насколько порой неоптимизированными могут быть наши педагогические программы!

маршировать

@ДэниелСанк. Я помню какую-то домашнюю задачу, в которой мы перебором избавлялись от зависимости от времени в гамильтониане, угадывая форму решения, но да, позже мне пришлось обобщить процедуру для себя.

Даниэль Санк

Почему бы вам не перенести решение, которое вы поместили в пост, в ответ? Вопросы с самостоятельными ответами — это прекрасно!

Ответы (1)

Преобразование гамильтониана Джейнса-Каммингса

Можете ли вы физически подумать о том, что вам нужно сделать? Попробуйте написать оригинал $H$ в терминах операторов Паули, а потом подумать, что значит избавиться от временной зависимости. Если ты приложишь немного усилий, я помогу тебе до конца. На этом сайте мы просим вопросы задавать какие-то конкретные и концептуальные. Широкие призывы к решению подобных проблем фактически считаются не по теме и поводом для закрытия вопроса.
Привет DanielSank, насколько я понимаю избавиться от временной зависимости означает в данном случае преобразовать нашу систему отсчета так, чтобы она вращалась именно с этой частотой расстройки $\delta$ , так что наблюдаемая система стационарна. На данный момент мы рассматриваем систему, которая вращается с частотой движущего поля. Однако, похоже, это еще не все, что необходимо сделать здесь. Когда я преобразую этот гамильтониан с помощью матрицы $U=\begin{pmatrix} \exp(-i\delta t/2) &0 \\ 0 & \exp(i\delta t /2) \end{pmatrix}$
... тогда я могу убить всю зависимость от времени (у меня останутся постоянные недиагональные элементы), но я не могу сделать так, чтобы диагональные элементы выглядели так.
Мне непонятно, что делать после написания этого в терминах операторов Паули: $H_i^n=\hbar g \sqrt{n+1}\frac{1}{2}\left((\sigma_x+i\sigma_y)\exp(-i\delta t) + (\sigma_x-i\sigma_y)\exp(i\delta t) \right)$ ... для другого гамильтониана я получаю: $-\hbar \sigma_z \delta/2 + \hbar g \sqrt{n+1}\sigma_x$
Не могли бы вы поместить свою работу в основной пост?
В посте вы даете преобразование-кандидат, но не показали результат применения этого преобразования...
Обратите внимание, что при преобразовании гамильтониана вам фактически нужно преобразовать и левую (зависящую от времени) часть уравнения Шрёдингера, а поскольку преобразование зависит от времени, вы получаете больше членов при применении правила произведения к произведению. матрицы преобразования и вектора состояния. Вот что принесет те $\delta$ находится по диагонали.
@march Да, я чувствую, что это то, о чем очень немногие знают в подобных проблемах.
@ДэниелСанк. Помогает то, что он вырос в теоретической группе квантовой оптики.
@march Странно то, что, хотя я узнал об «изображении взаимодействия» в школе, мы никогда не делали этого так, как мы с вами говорим здесь. Другими словами, я научился перемещать временную зависимость туда-сюда между состоянием и операторами, но так и не узнал, что можно на самом деле полностью избавиться от нее , войдя во вращающуюся систему координат. Я должен был понять это сам. Удивительно, насколько порой неоптимизированными могут быть наши педагогические программы!
@ДэниелСанк. Я помню какую-то домашнюю задачу, в которой мы перебором избавлялись от зависимости от времени в гамильтониане, угадывая форму решения, но да, позже мне пришлось обобщить процедуру для себя.
Почему бы вам не перенести решение, которое вы поместили в пост, в ответ? Вопросы с самостоятельными ответами — это прекрасно!

Механикс · Answer 1

Следуя предложению DanielSank, я попытался написать оба гамильтониана в терминах операторов Паули :

{ЧАС}_{я}^{н} "=" ℏ г \sqrt{н + 1} \frac{1}{2} [(о_{Икс} + я о_{у}) е^{- я дельта т} + (о_{Икс} - я о_{у}) е^{я дельта т}],

$H_i^n=\hbar g \sqrt{n+1}\frac{1}{2}\left[(\sigma_x+i\sigma_y)e^{-i\delta t} + (\sigma_x-i\sigma_y)e^{i\delta t} \right],$ и

{ЧАС}_{я 2}^{н} "=" - ℏ о_{г} дельта / 2 + ℏ г \sqrt{н + 1} о_{Икс} .

$H_{i2}^n = -\hbar \sigma_z \delta/2 + \hbar g \sqrt{n+1}\sigma_x.$

Итак, я в основном ищу преобразование, которое преобразует содержимое скобок в $\sigma_x$ а также вызывает появление этого другого термина.

Если я хочу избавиться от зависимости от времени, я могу преобразовать все обратно в картину Шредингера, используя

U "=" (\begin{matrix} опыт (я дельта т / 2) & 0 \\ 0 & опыт (- я дельта т / 2) \end{matrix}) .

$U=\begin{pmatrix} \exp(i\delta t/2) &0 \\ 0 & \exp(-i\delta t /2) \end{pmatrix}.$

Это дает:

U {ЧАС}_{я}^{н} U^{+} "=" ℏ \sqrt{н + 1} о_{Икс} "=" {ЧАС}^{*}

$UH_i^n U^+ = \hbar \sqrt{n+1}\sigma_x=H^*$

Я пытаюсь применить это $U$ к уравнению Шредингера из левой части:

U {ЧАС}_{я}^{н} | Ψ ⟩ "=" я ℏ U \partial_{т} | Ψ ⟩

$UH_i^n|\Psi\rangle = i\hbar U \partial_t |\Psi\rangle$

Затем я вставляю $U^{-1}U$ перед государством $|\Psi\rangle$ с обеих сторон:

U {ЧАС}_{я}^{н} U^{- 1} U | Ψ ⟩ "=" я ℏ U \partial_{т} U^{- 1} U | Ψ ⟩

$U H_i^n U^{-1}U |\Psi\rangle = i\hbar U\partial_t U^{-1}U |\Psi\rangle$

Затем я переименовываю

U | Ψ ⟩ \equiv | Ψ^{'} ⟩

$U|\Psi\rangle \equiv |\Psi'\rangle$

Теперь правило продукта, как предложил марш :

U ЧАС U^{- 1} | Ψ^{'} ⟩ "=" я ℏ U U^{- 1} \partial_{т} | Ψ^{'} ⟩ + я ℏ U \partial_{т} (U^{- 1}) | Ψ^{'} ⟩

$UHU^{-1} |\Psi'\rangle = i\hbar UU^{-1}\partial_t |\Psi'\rangle + i\hbar U \partial_t( U^{-1}) |\Psi'\rangle$ что приводит к

({ЧАС}^{*} - ℏ (\begin{matrix} дельта / 2 & 0 \\ 0 & - дельта / 2 \end{matrix})) | Ψ^{'} ⟩ "=" я ℏ \partial_{т} | Ψ^{'} ⟩

$\left(H^* - \hbar \begin{pmatrix} \delta/2 &0 \\ 0 &-\delta/2 \end{pmatrix}\right) |\Psi'\rangle =i\hbar\partial_t | \Psi' \rangle$

Часть левой стороны теперь именно то, что я искал!

Обновлять

Последующий вопрос обобщает этот частный случай.

хорошо, я попытался принять это во внимание сейчас. Извините за мой поздний ответ. Еще раз спасибо!
Выглядит неплохо! Я немного отредактировал форматирование и добавил ссылку на дополнительный вопрос @DanielSank. И проголосовал за обоих, чего я почему-то забыл сделать раньше.

Преобразование гамильтониана Джейнса-Каммингса

Механикс

Даниэль Санк

Механикс

Механикс

Механикс

Даниэль Санк

Механикс

Даниэль Санк

маршировать

Даниэль Санк

маршировать

Даниэль Санк

маршировать

Даниэль Санк

Ответы (1)

Механикс

Механикс

маршировать

Коммутатор с квадратным корнем

Аналитическое решение управления двухуровневой системой синусоидальным потенциалом вне приближения вращающейся волны

Нормальный порядок и размытие

Физический смысл эффективной волновой функции

Получите лагранжиан из системы связанных уравнений [закрыто]

Разделение связанных дифференциальных уравнений в динамически связанной системе с двумя состояниями

Связь между элементами матрицы положения и импульса

Матрица для импульса π/2π/2\pi/2?

Введение Quantum, проблема с этим граничным условием и потенциалом

Унитарное преобразование гамильтониана со спин-орбитальной связью