Разделение связанных дифференциальных уравнений в динамически связанной системе с двумя состояниями

Question

Разделение связанных дифференциальных уравнений в динамически связанной системе с двумя состояниями

Раджат Радхакришнан

Рассмотрим следующий динамически связанный гамильтониан с двумя состояниями:

ЧАС "=" - Б о_{г} - В (т) о_{Икс} .

$H=-B\sigma_z-V(t)\sigma_x.$ Взяв собственные функции

σ_{z}

$\sigma_z$ (

| + >

$|+>$ и

| - >

$|- >$ ) в качестве базисных векторов имеем волновую функцию

Φ "=" с_{1} | + > + с_{2} | - >

$\Phi=c_ 1|+>+ c_2|->$ и мы получаем связанные дифференциальные уравнения для временной эволюции этих двух коэффициентов.

[\begin{matrix} \frac{г с_{1}}{г т} \\ \frac{г с_{2}}{г т} \end{matrix}] "=" [\begin{matrix} - Б & - В (т) \\ - В (т) & Б \end{matrix}] \times [\begin{matrix} с_{1} \\ с_{2} \end{matrix}]

$\left[ \begin{array}{c} \frac{dc_1}{dt} \\ \frac{dc_2}{dt} \end{array} \right] = \begin{bmatrix} -B & -V(t) \\ -V(t) & B \end{bmatrix} \times \left[ \begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \end{array} \right]$

Чтобы разделить уравнения, я попытался провести диагональный анализ задействованного гамильтониана. Но тогда сами собственные векторы зависят от времени из-за $V(t)$ и поэтому я не могу разделить дифференциальные уравнения. Итак, есть ли другой способ сделать это? Любые подсказки приветствуются.

Раджат Радхакришнан

Я добавлю шаги, которые я сделал в ближайшее время. Я не привык к математическим командам TEX, и мне нужно время, чтобы напечатать их.

маршировать

Возможность разделения уравнений зависит от формы

V (t)

$V(t)$ . Если

V (t)

$V(t)$ представляет собой простую комплексную экспоненту (что часто происходит в контексте приближения вращающейся волны), то это можно сделать; если это косинус или синус, то не может (кажется, это называется моделью Раби). Примеры есть на этом сайте: смотрите здесь и здесь .

Ответы (1)

Разделение связанных дифференциальных уравнений в динамически связанной системе с двумя состояниями

Я добавлю шаги, которые я сделал в ближайшее время. Я не привык к математическим командам TEX, и мне нужно время, чтобы напечатать их.
Возможность разделения уравнений зависит от формы $V(t)$ . Если $V(t)$ представляет собой простую комплексную экспоненту (что часто происходит в контексте приближения вращающейся волны), то это можно сделать; если это косинус или синус, то не может (кажется, это называется моделью Раби). Примеры есть на этом сайте: смотрите здесь и здесь .

удрв · Answer 1

Система может быть разделена, но не обязательно в красивой форме. Например, производная по времени первого уравнения. читает

я ℏ {\ddot{с}}_{1} "=" - Б {\dot{с}}_{1} - \dot{В} с_{2} - В {\dot{с}}_{2}

$i\hbar {\ddot c}_1 = - B {\dot c}_1 - {\dot V}c_2 - V {\dot c}_2$ Теперь удалите

c_{2}

$c_2$ используя снова первое уравнение,

с_{2} "=" - \frac{я ℏ}{В} {\dot{с}}_{1} - \frac{Б}{В} с_{1}

$c_2 = -\frac{i\hbar}{V} {\dot c}_1 - \frac{B}{V} c_1$ и

{\dot{c}}_{2}

${\dot c}_2$ используя второе уравнение,

{\dot{c}}_{2} = \frac{i}{ℏ} V c_{1} - \frac{i}{ℏ} B c_{2}

${\dot c_2} = \frac{i}{\hbar}Vc_1 - \frac{i}{\hbar}B c_2$ :

я ℏ {\ddot{с}}_{1} "=" - Б {\dot{с}}_{1} + я ℏ \frac{г п В}{г т} {\dot{с}}_{1} + Б \frac{г п В}{г т} с_{1} - \frac{я}{ℏ} В^{2} с_{1} + \frac{я}{ℏ} Б В (- \frac{я ℏ}{В} {\dot{с}}_{1} - \frac{Б}{В} с_{1}) "=" 0

$i\hbar {\ddot c}_1 = - B {\dot c_1} + i\hbar \frac{d\ln V}{dt} {\dot c}_1 + B \frac{d\ln V}{dt} c_1 - \frac{i}{\hbar}V^2c_1 + \frac{i}{\hbar} BV\left(-\frac{i\hbar}{V} {\dot c}_1 - \frac{B}{V} c_1\right) = 0$ Упрощайте, перестраивайте и получайте

{\ddot{с}}_{1} - \frac{г п В}{г т} {\dot{с}}_{1} + [\frac{я}{ℏ} Б \frac{г п В}{г т} + \frac{Б^{2} + В^{2}}{ℏ^{2}}] с_{1} "=" 0

${\ddot c}_1 - \frac{d\ln V}{dt} {\dot c}_1 + \left[\frac{i}{\hbar}B\frac{d\ln V}{dt} + \frac{B^2 + V^2}{\hbar^2} \right]c_1 = 0$ Аналогично для

c_{2}

$c_2$ .

Лучший способ :

Меняться от $c_1$ , $c_2$ к

с_{+} "=" с_{2} + с_{1} с_{-} "=" с_{2} - с_{1}

$c_+ = c_2 + c_1\\ c_- = c_2 - c_1$ таким образом, что система становится

я ℏ {\dot{с}}_{+} "=" - В (т) с_{+} + Б с_{-} я ℏ {\dot{с}}_{-} "=" Б с_{+} + В (т) с_{-}

$i\hbar {\dot c}_+ = -V(t) c_+ + B c_-\\ i\hbar {\dot c}_- = B c_+ + V(t) c_-\\$ Применение той же процедуры исключения для

c_{-}

$c_-$ , на этот раз используя

с_{-} "=" \frac{я ℏ}{Б} {\dot{с}}_{+} + \frac{В}{Б} с_{+} {\dot{с}}_{-} "=" - \frac{я}{ℏ} Б с_{+} - \frac{я}{ℏ} В с_{-} "=" - \frac{я}{ℏ} Б с_{+} - \frac{я}{ℏ} В [\frac{я ℏ}{Б} {\dot{с}}_{+} + \frac{В}{Б} с_{+}] "=" \frac{В}{Б} {\dot{с}}_{+} - \frac{я}{ℏ} \frac{Б^{2} + В^{2}}{Б} с_{+}

$c_- = \frac{i\hbar}{B}{\dot c}_+ + \frac{V}{B}c_+\\ {\dot c_-} = - \frac{i}{\hbar}Bc_+ - \frac{i}{\hbar}Vc_- = - \frac{i}{\hbar}Bc_+ - \frac{i}{\hbar}V\left[\frac{i\hbar}{B}{\dot c}_+ + \frac{V}{B}c_+\right] = \frac{V}{B}{\dot c}_+ - \frac{i}{\hbar}\frac{B^2 + V^2}{B}c_+$ дает гораздо более простое уравнение. для

c_{+}

$c_+$ :

{\ddot{с}}_{+} - \frac{я}{ℏ} \dot{В} с_{+} - \frac{я}{ℏ} В {\dot{с}}_{+} + \frac{я}{ℏ} Б {\dot{с}}_{-} "=" 0 {\ddot{с}}_{+} - \frac{я}{ℏ} \dot{В} с_{+} - \frac{я}{ℏ} В {\dot{с}}_{+} + \frac{я}{ℏ} В {\dot{с}}_{+} + \frac{Б^{2} + В^{2}}{ℏ^{2}} с_{+} "=" 0 {\ddot{с}}_{+} + [\frac{Б^{2} + В^{2}}{ℏ^{2}} - \frac{я}{ℏ} \dot{В}] с_{+} "=" 0

${\ddot c}_+ - \frac{i}{\hbar}{\dot V}c_+ - \frac{i}{\hbar} V {\dot c}_+ + \frac{i}{\hbar} B {\dot c}_- = 0 \\ {\ddot c}_+ - \frac{i}{\hbar}{\dot V}c_+ - \frac{i}{\hbar} V {\dot c}_+ + \frac{i}{\hbar} V {\dot c}_+ +\frac{B^2 + V^2}{\hbar^2}c_+ = 0\\ {\ddot c}_+ + \left[\frac{B^2 + V^2}{\hbar^2} - \frac{i}{\hbar}{\dot V} \right]c_+ = 0$

Спасибо .. Я пытался сделать это с тех пор, как вчера опубликовал этот вопрос. Теперь все ясно.
Добро пожаловать. Добавил форму получше, но меня не покидает щемящее ощущение, что я когда-то видел точное решение этой проблемы, но не могу вспомнить, где и что мне сейчас не хватает.
Существуют точные решения для очень специальных $V(t)$ с.

Разделение связанных дифференциальных уравнений в динамически связанной системе с двумя состояниями

Раджат Радхакришнан

Раджат Радхакришнан

маршировать

Ответы (1)

удрв

Раджат Радхакришнан

удрв

Раджат Радхакришнан

Собственные значения системы из двух частиц в связанном и несвязанном базисе

Использование матрицы вращения для записи вращения, ориентированного на x, в основе z-вращения

Вероятность состояния электронного спина [закрыто]

Эрмитово сопряжение дифференциального оператора

Почему двухэлектронные системы обычно описывают в синглет-триплетном базисе?

⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\шляпа{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle для всех |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle означает, что A^=B^A^=B^\hat{A} = \hat{ Б}?

Параллельные/антипараллельные спины двух неспаренных электронов

Ожидаемые значения операторов LxLxL_x и LyLyL_y в собственных состояниях LzLzL_z

Можем ли мы доказать это без явного вычисления?

Как доказать Tr[|α⟩⟨α|A^]=⟨α|A^|α⟩Tr[|α⟩⟨α|A^]=⟨α|A^|α⟩\mathrm{Tr}[| \alpha\rangle\langle\alpha|\шляпа{A}]=\langle\alpha|\шляпа{A}|\alpha\rangle