Преобразование координат сопутствующей системы отсчета для произвольной траектории

Question

Преобразование координат сопутствующей системы отсчета для произвольной траектории

Ясалами

Предположим, что есть частица, движущаяся сквозь пространство-время. Он движется вдоль оси x со скоростью, зависящей от времени. Если смотреть из инерциальной системы отсчета, он имеет скорость $v(t)$ где $t$ – координатное время инерциальной системы отсчета. Позволять $t \in [0,T]$ .

Я хочу получить преобразование координат для сопутствующей системы координат частицы. Под этим я подразумеваю систему координат, в которой частица все время находится в покое. Я попытался получить это преобразование, предполагая, что частица движется в течение коротких промежутков времени. $\Delta t$ с постоянной скоростью. Для постоянных скоростей мы можем использовать нормальное преобразование Лоренца в качестве преобразования координат. Если я сейчас разделю интервал времени $[0,T]$ в $n$ интервалы длины $\Delta t = T/N$ можно найти LT для каждого временного интервала длины $\Delta t$ .

Для $t \in [n \Delta t,(n+1) \Delta t]$ мы получаем

т^{'} "=" γ_{н} (т - в_{н} Икс) + а_{н}

$t' = \gamma_n (t- v_n x)+ a_n$

The $a_n$ неизвестно, но его необходимо связать с предыдущим временным интервалом $[n \Delta t,(n+1) \Delta t]$ к

а_{н} "=" а_{н - 1} + н Δ т (γ_{н - 1} - γ_{н - 2}) + (\sum_{м "=" 0}^{н} в_{м} Δ т) (γ_{н} в_{н} - γ_{н - 1} в_{н - 1})

$a_n = a_{n-1} + n \Delta t(\gamma_{n-1}-\gamma_{n-2})+ \left(\sum_{m=0}^{n}v_m \Delta t\right) (\gamma_{n} v_n - \gamma_{n-1}v_{n-1})$

Теперь путем итерации и преобразования сумм в интегралы я получаю

а_{н} "=" а (т) "=" \int_{0}^{т} \tilde{т} \frac{г γ}{г \tilde{т}} + р (\tilde{т}) \frac{г (γ в)}{г \tilde{т}} г \tilde{т}

$a_n =: a(t)= \int_0^t \tilde{t} \frac{\mathrm d\gamma}{\mathrm d\tilde{t}} +r(\tilde{t})\frac{\mathrm d(\gamma v)}{\mathrm d\tilde{t}} \mathrm d\tilde{t}$

где $r(t)$ - положение частицы, видимой из инерциальной системы отсчета с $r(0)=0$ .

Итого получаем за преобразованное время:

т^{'} "=" γ (т) (т - в (т) Икс) + \int_{0}^{т} \tilde{т} \frac{г γ}{г \tilde{т}} + р (\tilde{т}) \frac{г (γ в)}{г \tilde{т}} г \tilde{т}

$t' = \gamma(t) (t- v(t) x)+ \int_0^t \tilde{t} \frac{\mathrm d\gamma}{\mathrm d\tilde{t}} +r(\tilde{t})\frac{\mathrm d(\gamma v)}{\mathrm d\tilde{t}} \mathrm d\tilde{t}$

Нечто подобное можно сделать и для пространственной координаты.

Теперь мой вопрос: правильный ли это подход? Или я где-то ошибся? В моей новой системе координат частица должна все время покоиться. $t'$ . Есть ли другие способы найти сопутствующую систему координат? А есть формула без интеграла?

пользователь196418

Это не инерционная система, вам что-то не нравится? Получаете ли вы контринтуитивный результат?

Ясалами

@ggcg Для парадокса близнецов я получаю правильный ответ. Но в этом случае у вас есть только две скорости, и вам не нужна итерация и интегрирование. Но мне просто интересно, можно ли найти приведенный выше результат в литературе или можно найти что-то подобное.

пользователь196418

Большинство текстов по ОТО будут делать единую ускоряющую систему координат. Я думаю, вы можете найти это в Misner Thorne and Wheeler (MTW), Gravitation.

пользователь196418

Вы можете хотя бы сверить этот случай с вашим результатом.

октонион

@yasalami, я вижу, ты прав насчет

t^{'}

$t'$ . Я ошибся с мерой интегрирования, когда переходил на

τ

$\tau$ . Твой

t^{'}

$t'$ действительно равно

τ

$\tau$ вдоль траектории частицы. Я удалил свой ответ.

Ясалами

@octonion все равно спасибо. Вы дали мне правильный намек. Но мне так и не удалось вывести координаты Риндлера

Ответы (2)

Преобразование координат сопутствующей системы отсчета для произвольной траектории

Это не инерционная система, вам что-то не нравится? Получаете ли вы контринтуитивный результат?
@ggcg Для парадокса близнецов я получаю правильный ответ. Но в этом случае у вас есть только две скорости, и вам не нужна итерация и интегрирование. Но мне просто интересно, можно ли найти приведенный выше результат в литературе или можно найти что-то подобное.
Большинство текстов по ОТО будут делать единую ускоряющую систему координат. Я думаю, вы можете найти это в Misner Thorne and Wheeler (MTW), Gravitation.
Вы можете хотя бы сверить этот случай с вашим результатом.
@yasalami, я вижу, ты прав насчет $t'$ . Я ошибся с мерой интегрирования, когда переходил на $\tau$ . Твой $t'$ действительно равно $\tau$ вдоль траектории частицы. Я удалил свой ответ.
@octonion все равно спасибо. Вы дали мне правильный намек. Но мне так и не удалось вывести координаты Риндлера

Элио Фабри · Answer 1

Если смотреть из инерциальной системы отсчета, он имеет скорость v (t)

$\def\D#1#2{{d#1 \over d#2}}$ Определять $x(t)$ такой, что $dx/dt=v$ , затем $h(\tau)$ так что

\begin{aligned} \frac{г Икс}{г т} & "=" грех час (т) \\ \frac{г т}{г т} & "=" чушь час (т) . \end{aligned}

$\eqalign{ \D x\tau &= \sinh h(\tau) \cr \D t\tau &= \cosh h(\tau).\cr}$ Обратите внимание, что

\tanh h = v

$\tanh h = v$ ,

\cosh h = γ

$\cosh h = \gamma$ ,

h

$h$ это быстрота(

τ

$\tau$ самое подходящее время)

Преобразование, которое вы ищете,

\begin{aligned} Икс & "=" \int_{0}^{ξ} грех час (ξ^{'}) г ξ^{'} + η чушь час (ξ) \\ т & "=" \int_{0}^{ξ} чушь час (ξ^{'}) г ξ^{'} + η грех час (ξ) . \end{aligned}

$\eqalign{ x &= \int_0^\xi \sinh h(\xi')\,d\xi' + \eta\,\cosh h(\xi) \cr t &= \int_0^\xi \cosh h(\xi')\,d\xi' + \eta\,\sinh h(\xi).\cr}$ Вы можете видеть, что для

η = 0

$\eta=0$

\begin{aligned} г Икс "=" грех час (ξ) г ξ \\ г т "=" чушь час (ξ) г ξ \end{aligned}

$\eqalign{ dx = \sinh h(\xi)\,d\xi \cr dt = \cosh h(\xi)\,d\xi \cr}$ так что движение точки, закрепленной в

η = 0

$\eta=0$ только тот, который назначен для

x (t)

$x(t)$ с

ξ = τ

$\xi=\tau$ .

В координатах $(\xi,\eta)$ метрика

[1 + η {час}^{'} (ξ)]^{2} г ξ^{2} - г η^{2}

$[1 + \eta\,h'(\xi)]^2 d\xi^2 - d\eta^2$ показывая, что

(ξ, η)

$(\xi,\eta)$ – обобщенные координаты Риндлера .

Другие свойства легко следуют, особенно для движения точек с $\eta=\mathrm{const.}\ne0$ .

Не уверен, но в первых двух уравнениях аргумент гиперболических функций не должен быть $h(\tau)$ ?
@ Marco81 Вы абсолютно правы. Исправленный. Спасибо.

Крио · Answer 2

Я согласен с предложением заглянуть в МТЗ. Мне очень нравится раздел о равномерно ускоряющихся объектах.

Я не думаю, что вам нужен сложный шаг, включающий преобразования Лоренца и принятие предела континуума.

В любой инерциальной системе отсчета мировая линия движущегося объекта может быть выражена как $x^\mu=\left(ct,\, \mathbf{r}(t)\right)^\mu$ , так $dx^\mu=(c, \mathbf{v}(t))^\mu dt$ , и $dx^2=(c^2-v^2)dt^2$ , но и по определению $dx^2=c^2 d\tau^2$ ( $\tau$ = правильное время), поэтому $dt/d\tau=\gamma=\left(1-v^2/c^2\right)^{-1/2}$ , даже если скорость зависит от времени.

Если известно выражение для зависящей от времени скорости $v=v(t)$ , просто интегрируйте $d\tau=dt\sqrt{1-v(t)^2/c^2}$ чтобы получить правильное время ( $\tau$ ) в терминах лабораторного времени ( $t$ ).

Как только вы узнаете, как правильное время связано с лабораторным временем, т.е. $\tau=\tau\left(t\right)$ можно записать четырехскоростную $u^{\mu}(\tau)=\frac{dx^{\mu}}{d\tau}=\frac{d\tau}{dt}\cdot\frac{dx^{\mu}}{dt}=\frac{d\tau}{dt}\cdot\left(c, \mathbf{v}(t(\tau))\right)^{\mu}$

Четыре скорости дадут вам направление временной оси для инерциальной системы отсчета, в которой ваш объект находится в покое в это конкретное время. Затем у вас есть произвольный выбор того, как охватывать 3 пространственных измерения, которые перпендикулярны четырехскоростной скорости.

Преобразование координат сопутствующей системы отсчета для произвольной траектории

Ясалами

пользователь196418

Ясалами

пользователь196418

пользователь196418

октонион

Ясалами

Ответы (2)

Элио Фабри

Марко81

Элио Фабри

Крио

Лоренц-инвариантность волнового уравнения

Почему вычитание релятивистской скорости дает большую относительную скорость, чем классическая?

Проблема с использованием формулы замедления времени

Что делает быстрое (ac/de)ускорение в теории относительности с инерционными часами?

Как может сохраняться четырехкратный импульс в каждом кадре при упругом столкновении?

Максимальное собственное время в пространстве Минковского для свободных частиц

Вычисление замедления времени для фотона, движущегося к движущемуся космическому кораблю

Спутник GPS — специальная теория относительности

Уточнение собственного времени и инерциальной системы отсчета