Проблема с использованием формулы замедления времени

Обратите внимание, два события, одновременные в одном кадре, перестают быть одновременными в другом!

Вычисления, которые вы сделали в кадре А, верны, я просто хочу подчеркнуть тот факт, что время, которое вы получили, не является абсолютным временем, это временной интервал относительно начала координат.$t = 0$то есть$(t-0) = 7L$.

Теперь перейдем к фрейму B (переменная с простым индексом ' является переменной в фрейме B). В этом кадре у нас есть поезд 1 в состоянии покоя и поезд 2, движущийся со скоростью (я записываю все в единицах с)

$$v'_2 = \frac{v_2-v_1}{1-v_2v_1}=\frac{5}{13}$$ теперь позвоним $x_1$впереди поезда 1 и $x_2$задняя часть поезда 2. Во время $t =0$в А они соответственно $x_1 = \frac{L}{\gamma_1}$ $x_2 = - \frac{L}{\gamma_2}$где $$\gamma_1 = \frac{1}{\sqrt{1-v_1^2}} = \frac{5}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \gamma_2 = \frac{1}{\sqrt{1-v_2^2}} = \frac{5}{3}$$ Теперь давайте выполним преобразование Лоренца (увеличение скорости $v_1$в положительном направлении x), чтобы перейти в кадр B, событие $t = 0 \ x_1 = \frac{L}{\gamma_1}$становится $$t'_0 = \gamma_1(0-v_1x_1) = -\frac{3}{5}L \ \ \ \ \ \ \ \ x'_1 = \gamma_1(x_1-v_1*(0)) = L$$ этот $t'_0$теперь является нашим новым «происхождением» в том смысле, что мы будем вычислять временной интервал формы $(t'-t'_0)$.

Теперь мы выполняем то же преобразование Лоренца для события$t = 0 \ \ x_2 = -\frac{L}{\gamma_2}$это становится

$$t'_2 = \gamma_1(0-v_1x_2) = +\frac{\gamma_1}{\gamma_2}v_1L = \frac{9}{20}L \ \ \ \ \ \ \ \ x'_2 = \gamma_1(x_2-v_1*(0)) = -\frac{\gamma_1}{\gamma_2}L = -\frac{3}{4}L$$ Это снова другое время. Теперь я могу записать траекторию задней части поезда 2 в кадре B, т.е. $$x'_2(t') = x'_2(t'_2) + v'_2(t'-t'_2)$$ Поезд 2 догонит поезд 1, когда $x'_2(t') = x'_1(t') = L$потому что носовая часть поезда 1 покоится в точке $x'_1 = L$в кадре В; поэтому $$x'_2(t'_2) + v'_2(t'-t'_2) = L \Rightarrow (t'-t'_2) = \frac{91}{20}L$$

Теперь мы помним, что «происхождением» времени в системе В является$t'_1$поэтому искомый временной интервал равен

$$(t'-t'_1) = (t'-t'_2) + t'_2 - t'_1 =\Big[\frac{91}{20}+\frac{9}{20}+\frac{3}{4}\Big]L = \frac{28}{5}L$$ Чтобы найти теперь интервал времени $t -0$в кадре А (который мы уже нашли в самом начале) выполняем $\color{red}{inverse}$Преобразование Лоренца $$t-0 = \gamma_1[(t'-t'_1) \color{red}+v_1(x'_1(t') - x'_1(t'_1))]$$ но так как в кадре B поезд 1 находится в состоянии покоя, мы имеем $x'_1(t') = x'_1(t'_1) = L$и в конце концов мы получаем это $$t-0 = \gamma_1(t'-t'_1) = \frac{5}{4}\frac{28}{5}L = 7L$$

вы можете понять, что вы должны получить это значение$t'-t'_1 = \frac{28}{5}L$из этого легкого расчета:

в кадре А поезд 1 движется со скоростью$v_1 = \frac{3}{5}$и вовремя$t-0 = 7L$его движение вперед от$x_1(0) = \frac{L}{\gamma_1} = \frac{4}{5}L$к$x_1(t) = x_1(0) +v_1(t-0) = 5L$.

Теперь мы можем вычислить эквивалентный интервал времени в кадре B, выполняющем преобразование Лоренца

$$\Delta t' = \gamma_1[(t-0) - v_1(x_1(t)-x_1(0)] = \frac{28}{5}L$$

Ошибка заключается в неправильном использовании формулы замедления времени на последнем шаге. Единственная концепция, которую вы упустили, заключалась в том, что формула, которую вы использовали для нахождения временного интервала между двумя событиями в$A$применяется, если события происходят в одном и том же месте в$B$. Время до обгона – это временной интервал между двумя событиями, которые не находятся в одном и том же месте в$B$. Таким образом, чтобы найти интервал времени между ними в$A$, мы должны использовать полную формулу преобразования Лоренца, т.е.

$t_A = \dfrac{t_B - vx_B}{\sqrt{1-v^2}}$

Учитывая ваш концептуально чистый подход в остальной части описания, я уверен, что вы проработаете детали.