Преобразование Лоренца в ОТО

Я пытаюсь выполнить базовые вычисления СТО с более тяжелым формализмом ОТО, чтобы проверить, хорошо ли я это понимаю.

Изменение координат — это пространство-время : изменение координат в пространстве-времени — это изменение карт координат в пространстве. ( р 4 , η ) Лоренцево многообразие. Для декартовых координат у нас есть одна глобальная карта, и это тождество. Если мы хотим перейти к другой координате, мы берем другой атлас ( р 4 , η ) затем мы выполняем изменения координат, как показано в курсах дифференциальной геометрии.

Изменение координат в касательных пространствах : касательные пространства имеют естественную основу, заданную координатой на многообразии. Чтобы изменить координаты в касательных пространствах, это то же самое, что и для общих векторных пространств: мы делаем линейную комбинацию базисных векторов, затем выводим, как меняются компоненты и т. д.

Проблема : когда мы говорим о бустинге Лоренца , Икс направление в RR, мы обычно пишем

[ γ − β γ 0 0 − β γ γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] [ т Икс у г ] "=" [ т ′ Икс ′ у ′ г ′ ]
с обычными обозначениями. Мы обычно говорим, что мы "изменяем координату" от ( т , Икс , у , г ) к ( т ′ , Икс ′ , у ′ , г ′ ) .

  1. Поскольку это линейное преобразование между четырьмя векторами, является ли это изменением координат в касательном пространстве?

  2. Разве это не ( Икс , у , г , т ) предположим, что это координаты в пространстве-времени? я всегда видел Икс мю будучи мю -я компонента карты координат Икс : U ⊂ М → р 4 , М многообразие.

  3. В более общем смысле, какова на самом деле роль преобразования Лоренца в кривом пространстве-времени? Что на самом деле означает «система отсчета» в этом контексте?

Я хотел бы прочитать об этом, но я ничего не видел в классических ссылках на GR.

Преобразования Лоренца следует интерпретировать как особый набор карт перехода диаграмм: те, которые являются линейными. Вы можете спросить, почему векторы (такие как скорость, ускорение и т.д.) преобразуются таким же образом в СТО? Учитывая карту перехода диаграммы Икс ′ ( Икс ) , векторы (живущие в касательном пространстве) преобразуются под действием ∂ Икс ′ ∂ Икс . В случае линейных преобразований эта матрица оказывается идентичной матрице, реализующей изменение графика.
Что касается вашего последнего вопроса, самое точное определение системы отсчета, которое у меня есть, это определение Сакса и Ву в книге «Общая теория относительности для математиков». Система отсчета представляет собой времяподобное направленное в будущее единичное векторное поле. Это дает вам разделение между пространством и временем в каждом касательном пространстве открытого множества, в котором оно определено. Альтернативное определение состоит в том, чтобы определить систему отсчета как часть пучка ортонормированных систем, т. е. выбор ортонормированного базиса векторных полей.

Ответы (2)

Я думаю, что ваш вопрос решен следующим наблюдением. В искривленном пространстве ( т , Икс , у , г ) вообще не делайте 4-вектор, но ( д т , д Икс , д у , д г ) сделайте 4-вектор.

В ОТО вы можете использовать преобразование Лоренца для переключения между локальными инерциальными системами отсчета вблизи любого заданного события. Вы применяете такое преобразование только локально.

Преобразование Лоренца — это замена базиса касательного пространства. Касательное пространство определяется как векторное пространство, связанное с точкой в ​​пространстве-времени. Не следует путать это с координатами. Координаты не определяют векторы в общем искривленном пространстве-времени. Таким образом, мы можем применить преобразование Лоренца к векторам, например к импульсу, но не к координатам.

Система отсчета состоит из отсчетной материи, аппарата и процедур, необходимых для определения пространственно-временной системы координат.

Система координат - это отображение физических событий в координаты с формой ( Икс 0 , Икс 1 , Икс 2 , Икс 3 )

Обычно ( Икс 0 , Икс 1 , Икс 2 , Икс 3 ) "=" ( т , Икс , у , г ) где т время события и ( Икс , у , г ) описывает положение события, или мы можем использовать полярные координаты ( р , θ , ф ) , и мы также можем использовать более общие координаты.

Обратите внимание, что, поскольку метрика Минковского плоская, касательное пространство и исходное пространство имеют одинаковую структуру, и любое изменение базиса в касательном пространстве имеет соответствующее глобальное преобразование координат. Таким образом, любое усиление Лоренца или 3-вращение в касательном пространстве имеет эквивалентное преобразование координат, которое просто эквивалентно применению усиления/вращения к каждой точке пространства-времени.
@JerrySchirmer, возможно, в исходном вопросе есть двусмысленность. Если мы говорим о гр, мы не должны предполагать, что исходное пространство-время плоское. Если мы предполагаем, что пространство-время плоское, то действительно нет никакой разницы между sr и gr, и даже не возникает вопроса. Я не думаю, что это то, что имел в виду ОП, и, конечно же, это не предполагается в моем ответе.
О, я просто добавляю изюминку, объясняя, почему это может сбивать людей с толку, потому что для плоского пространства-времени пространство и касательное пространство имеют одинаковую структуру.
Как насчет комментария @Anonjohn? Является ли преобразование Лоренца также особой комбинацией карт для изменения координат (в пространстве-времени, а не в касательном пространстве)?
@xpsf, преобразование Лоренца применяется только к инерциальным системам отсчета в плоском пространстве-времени. В общей теории относительности это относится к преобразованиям в касательном пространстве.
Преобразование Лоренца в ОТО
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v