Преобразования Лоренца против преобразований координат

Общий диффеоморфизм не является изометрией. Или, скорее, его можно превратить в изометрию. Рассмотрим гладкие многообразия$M$и$N$, с метриками$g$и$h$. Позволять$\phi:M\rightarrow N$быть диффео. Мы говорим, что$\phi$является изометрией, если$g=\phi^*h$.

Но теперь давайте забудем о$h$. Вместо этого мы определяем его как

Затем$(M,g)$и$(N,h)$автоматически изометричны как (полу)римановы пространства.

С учетом сказанного рассмотрим$(M,g)$пространство-время Минковского. Позволять$\phi:M\rightarrow M$быть диффео. Позволять$X,Y$быть векторными полями. Очевидно , верно , что

Нет. В общем случае это неправда. Те преобразования, для которых$\phi^*g=g$в пространстве Минковского являются преобразованиями Пуанкаре. Линейные (однородные) являются преобразованиями Лоренца. На этом мой ответ завершается, но вот (надеюсь) просветляющее отступление.

Хотя это немного в другом контексте, вот пример, где разница между изометриями или общими обратимыми и сохраняющими структуру преобразованиями имеет значение:

Рассмотрим локальную лоренцеву геометрию, используя локальные (возможно, анголономные) системы отсчета. Какова минимальная информация, необходимая для точного определения локальной геометрии?

Для систем координат: метрические компоненты$g_{\mu\nu}$.

Для совершенно общих фреймов: метрические компоненты$g_{ab}$, и отношения между любой одной системой координат и общей системой координат, которая$e^\mu_a$или$\theta^a_\mu$($\theta^a=\theta^a_\mu dx^\mu$,$e_a=e^\mu_a\partial_\mu$).

Для ортонормированных систем отсчета: связь между любой одной системой координат и ортонормированной системой координат. Почему? Потому что, если$\theta^a_\mu$дается, то$g_{\mu\nu}=\eta_{ab}\theta^a_\mu\theta^b_\nu$.

Итак, вы можете видеть, что, несмотря на то, что все фреймы являются просто инструментами, и они не имеют физической/геометрической значимости, и, следовательно, все фреймы одинаково хороши, указание фрейма и требование, чтобы он был ортонормированным, на самом деле дает метрику! В том, что фрейм является ортонормированным, содержится ценная информация, и эта информация теряется, если мы используем общий фрейм.

Мы, конечно, можем выразить это понятие на языке преобразования, отметив, что для заданного начального фрейма можно построить систему ортонормированных фреймов, требуя, чтобы два действительных фрейма отличались преобразованием Лоренца:$e_{a'}=\Lambda^a_{\ a'}e_a.$Таким образом, несмотря на то, что любой$GL(n,\mathbb{R})$-значное преобразование является хорошим реперным преобразованием, лоренц-значные преобразования являются специальными. Система фреймов, для которой разрешено преобразование Лоренца, однозначно определяет метрику. Связанное с этим утверждение в современной инвариантной дифференциальной геометрии будет заключаться в том, что любая редукция пучка реперов$F(M)$х$GL(n,\mathbb{R})$в обобщенную ортогональную группу однозначно дает полуриманову метрику.

Вы, я полагаю, обсуждаете специальную теорию относительности. В этом случае наиболее естественной геометризацией является постулирование того, что пространство-время$\mathcal{S}$есть вещественное аффинное пространство размерности 4 с квадратичной формой сигнатуры$(+,-,-,-)$. Далее следует все, среди которых два фундаментальных аспекта для изучения:

• группа$\mathcal{P}$аффинных преобразований, оставляющих квадратичную форму инвариантной (называемой физиками группой Пуанкаре);
• существует бесконечное семейство реперов, где квадратичная форма имеет матрицу$\mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)$. Любые два таких фрейма отображаются друг на друга элементом$\mathcal{P}$.

Первый пункт касается того, что физики назвали бы активным преобразованием, а второй — пассивным преобразованием.

Вы спрашивали о преобразованиях Лоренца: как всегда для группы аффинных преобразований,$\mathcal{P}$является полупрямым произведением подгруппы переводов и группы$\mathcal{L}$линейных преобразований векторного пространства$S$связан с$\mathcal{S}$. Затем$\mathcal{L}$называется группой Лоренца.

В заключение отметим, если это не совсем очевидно, что это полностью похоже на аффинную евклидову геометрию и изометрию: единственное отличие состоит в сигнатуре квадратичной формы, которая положительно определена, и, конечно, в том, что размерность равна 3, а не 4.

Прежде всего: не все преобразования координат сохраняют метрику. В качестве простого примера рассмотрим$\mathbb R^2$трансформированный под

Преобразования Лоренца являются прямым аналогом метрики Минковского: существует множество преобразований, которые не соблюдают ее (например, преобразования репера Галилея, которые выглядят в точности как$(1)$выше) и ограниченный набор «хороших» преобразований, учитывающих метрику. Набор последних по определению является набором преобразований Лоренца, и это столь же важный инструмент, как и ортогональные преобразования для изучения евклидова пространства.

Глядя на ваш вопрос, я думаю, у меня есть простой ответ. Если какие-либо два наблюдателя находятся в системе координат определенного типа (декартова полярная ..... и т. Д.), И они хотят знать положение и скорость импульса энергии, тогда они будут использовать Лоренца преобразовать, чтобы узнать положение друг друга, скорость, энергию, импульс. но если один наблюдатель находится в декартовой системе отсчета, а другой - в полярной, то они должны также выполнить преобразование координат из полярной в декартову или наоборот. мы часто путаем систему координат и систему отсчета. рамка. есть небольшая разница. система координат, такая как декартова полярная цилиндрическая система. но система отсчета - это рамка наблюдателя. мы можем количественно определить систему отсчета, используя любой тип системы координат.

Что вы забываете, так это то, что в пространстве Минковского есть специальные координаты, так называемые координаты наблюдателя или нормальные координаты в дифференциальной геометрии, и мы можем показать, что существует однозначное соответствие между этими координатами и инерциальной наблюдатель. Дело здесь в том, чтобы иметь в виду, что компоненты тензоров в этих специальных координатах равны тому, что измеряет наблюдатель, связанный с этими координатами. Таким образом, изменение этих специальных координат равносильно изменению наблюдателей .

В качестве примера предположим$F=F_{\mu \nu}dx^{\mu}dx^{\nu}$является электромагнитным тензором в одной из этих специальных координат, связанных с некоторым наблюдателем$O$. Тогда мы знаем, что, например$E_1=F_{11}$– первая компонента электрического поля. Если мы изменим координаты, мы получим$F=F_{\mu \nu}dx^{\mu}dx^{\nu}=F'_{\mu \nu}dx'^{\mu}dx'^{\nu}$. Сейчас если$F'_{\mu \nu}$полученное преобразованием координат Лоренца, мы знаем, что другой наблюдатель$O'$связанный с этими координатами, будет измерять первую компоненту электрического поля как$E'=F'_{1 1}$.

Таким образом, вместо того, чтобы использовать все механизмы дифференциальной геометрии, физики используют более простой подход с координатами.