Преобразование между внегалактическими расстояниями

Вам нужно решить эту проблему

$$H(a) = \frac{\dot{a}}{a} \tag{1}$$

где$a = 1 / (1 + z)$масштабный фактор,$H$является параметром Хаббла и следует уравнению Фридмана

$$\left(\frac{H(z)}{H_0}\right)^2 = \Omega_{m,0}(1 + z)^{3} + \Omega_{\Lambda,0} + \Omega_{\gamma,0}(1 + z)^{4} = E(z) \tag{2}$$

и я предположил, что кривизна плоская. Заменив (2) в (1), вы получите

$$t = \int_{1 / (1 + z)}^{1}\frac{{\rm d}a}{aH(a)} = \frac{1}{H_0}\int_{1 / (1 + z)}^{1}\frac{{\rm d}a}{aE^{1/2}(a)}$$

В этом случае$t$возраст Вселенной при этом конкретном красном смещении. Есть много онлайн-инструментов , которые позволяют вычислить это число, если вы знаете космологию.$(\Omega_{m,0}, \Omega_{\Lambda}, \cdots)$

Caverac отлично отвечает, как долго фотон, испущенный галактикой, наблюдается с красным смещением.$z$путешествовал, т.е. как далеко мы заглядываем в прошлое. И это тесно связано с расстоянием до этого объекта (это то, что вы запрашиваете).

В космологии используется несколько мер расстояния . Я предполагаю, что вас интересует текущее расстояние до данного объекта, скажем, галактики, при красном смещении.$z$. То есть, если мы заморозим Вселенную во времени прямо сейчас и проложим измерительные стержни отсюда до той галактики, то как далеко это будет (другие расстояния включают в себя расстояние, когда был испущен свет, и расстояние, удовлетворяющее закону обратных квадратов ).

Это расстояние (которое сегодня равно так называемому «сопутствующему расстоянию») не просто равно скорости света.$c$раз время$t$потребовалось, чтобы добраться сюда (что дано в ответе каверака). Причина в том, что во время путешествия фотона Вселенная расширилась. Чтобы получить правильное расстояние, вам нужно проинтегрировать расширение:

$$d(z) = \frac{c}{H_0} \int_0^z \frac{dz'}{E(z')},$$ где$H_0$постоянная Хаббла и$E(z)$(определено в ответе Каверака) является функцией красного смещения и плотности компонентов Вселенной (материи, темной энергии, излучения).

Например, для$z=1$,$d=3.4\,\mathrm{Gpc} =$11 миллиардов световых лет.

Таким образом, рассчитать расстояние не так просто, но вы можете использовать онлайн-калькуляторы, подобные тому, который упоминается в ответе каверака, или, если вы знаете Python, вы можете использовать следующее$^\dagger$(при условии незначительного излучения в плоской Вселенной):

from astropy.cosmology import Planck15
from astropy import units as u
z = 1
d = Planck15.comoving_distance(z)
print('Distance in million lightyears:', d.to(u.Mlyr))

Или вы можете сослаться на этот рисунок, который я сделал, используя приведенный выше фрагмент кода:

---

$^\dagger$_{Этот фрагмент кода использует популярный астрономический пакет astropy , который можно установить с помощью pip install astropy.}

Вещи могут быть немного более тонкими, чем могут показаться на первый взгляд, из-за множества видов расстояний, которые можно определить в космологии.

Расстояние времени прохождения света , которое в основном$c(t_0-t_e)$где$t_0$настоящее время и$t_e$время, когда свет, воспринимаемый в настоящее время от этого объекта, был испущен. С$H = \frac{1}{a}\frac{da}{dt}$:

$$\begin{equation} d_{\Delta t} = c\int_{t_e}^{t_0} dt = c\int_{1/(1+z)}^{1} \dfrac{da}{a H(a)} \end{equation}$$

Это расстояние недоступно непосредственно экспериментально. Его можно вычислить по красному смещению, которое легко измерить, при условии, что вы знаете космологию , то есть связь между скоростью расширения$H$и коэффициент масштабирования$a$. Это полностью зависит от содержания вселенной.

Сопутствующее расстояние , которое можно определить как физическое расстояние в настоящее время между двумя неподвижными точками в потоке Хаббла, определяется как:

$$\begin{equation} \chi = c\int_{t_e}^{t_0} \dfrac{dt}{a(t)} = c\int_{1/(1+z)}^{1} \dfrac{da}{a^2 H(a)} \end{equation}$$ Это расстояние также имеет очень сильное значение — оно постоянно по определению — но не то, что облегчает его прямое измерение.

Другим видом расстояния является расстояние светимости . Он определяется как расстояние$d_L$таким, чтобы поток, получаемый от источника света мощностью$P$следует закону обратных квадратов:

$$\begin{equation} F = \dfrac{P}{4\pi d_L^2} \end{equation}$$ Это расстояние объясняет эффекты разбавления энергии после расширения волнового фронта, а также «потерю энергии» из-за красного смещения. Для плоской геометрии это расстояние равно: $$\begin{equation} d_L = (1+z) \chi \end{equation}$$ Это расстояние можно измерить, если $P$известен.

Можно определить и другие расстояния, более полезные в зависимости от контекста. Для близлежащих объектов все они склонны$\sim cz/H_0$.