Вычисление красного смещения во вселенной с преобладанием космологической постоянной

Плотность излучения была пренебрежимо мала на протяжении большей части жизни Вселенной, поэтому мы можем рассматривать только плотность материи и темной энергии. Глядя на ваше уравнение, в расширении будет преобладать материя, когда$\Omega_M (1+z)^{3} \gg \Omega_\Lambda$и темная энергия доминировала, когда$\Omega_\Lambda \gg \Omega_M (1+z)^{3}$, так кроссовер будет когда$\Omega_M (1+z)^{3} = \Omega_\Lambda$давая нам:

$$(1+z)^{3} = \frac{\Omega_\Lambda}{\Omega_M}$$

Вводя значение из Планка,$\Omega_M = 0.315, \Omega_\Lambda = 0.685$я получил$z = 0.3$.

Я думаю, что вам не хватает этого$\Omega_{CMB}$весьма пренебрежимо мал за пределами очень ранней Вселенной. Если рассматривать реликтовое излучение как поле излучения черного тела с полной плотностью энергии, определяемой выражением

$$u = \frac{4\sigma}{c} T^4$$ С $T=2.73$К, это дает плотность энергии $4 \times 10^{-14}$Дж/м $^{3}$.

Современная критическая плотность$8\times 10^{-10}$Дж/м$^{-3}$, так$\Omega_{CMB} \sim 5\times10^{-5}$и хотя плотность энергии реликтового излучения увеличивается быстрее, чем плотность вещества по мере того, как мы переходим к меньшим масштабным факторам, она все еще довольно мала даже для красных смещений до$\sim 100$.

Таким образом, чтобы найти, когда плотности энергии материи и темной энергии были одинаковыми

$$\Omega_{M} (1+z)^3 = \Omega_{\Lambda}$$ $$z = \left( \frac{\Omega_{\Lambda}}{\Omega_M}\right)^{1/3} -1$$

Для параметров, которые вы предлагаете, это происходит при$z= 0.326$.