Преобразование симметрии в пространстве AdS

В работах AdS/CFT действие симметрии SO(D,2) обычно задается на границе, где преобразования являются просто конформными преобразованиями (Пуанкаре, скейлинговыми и специальными) для пространства Минковского D+1.

Я хотел бы знать, как преобразования SO (1,2) действуют для произвольной точки в AdS, скажем, в системе координат

г с 2 "=" 1 / г 2 ( г г 2 + г Икс 2 + г у 2 ) .

Можно ли написать г ′ "=" г ( г , Икс , у ) , Икс ′ "=" Икс ( г , Икс , у ) и у ′ "=" у ( г , Икс , у ) чтобы вышеуказанная метрика оставалась неизменной?

Вы написали геометрию с евклидовой ( + + + ) подпись, которая наверняка не может иметь эту группу симметрии.
Ваше пространство гиперболическое пространство ЧАС 3 который имеет глобальный С О ( 3 , 1 ) симметрия. ЧАС 3 может быть записано как С О ( 3 , 1 ) С О ( 3 ) . ЧАС 3 можно рассматривать как «евклидову» версию А д с 3
ХОРОШО! Давайте д с 2 "=" 1 / ( г 2 ) ( − д т 2 + д Икс 2 + д у 2 + д г 2 ) что, безусловно, А д С 4 ( С О ( 3 , 2 ) ). Можете ли вы записать преобразования для этого, чтобы метрика оставалась неизменной?

Ответы (2)

Чтобы увидеть всю симметрию, лучше увидеть А д С 4 как 4-поверхность в 5-мерном пространстве.

Мы предполагаем, что 5-метрика д с 2 "=" д Икс 2 + д у 2 + д г 2 − д т 2 − д ты 2

4 поверхности А д С 4 определяется как :

Икс 2 + у 2 + г 2 − т 2 − ты 2 "=" − 1

С этим определением весь С О ( 3 , 2 ) симметрия, для трансформаций ( Икс , у , г , т , ты ) → ( Икс ′ , у ′ , г ′ , т ′ , ты ′ ) очевидно.

Теперь из внутренней 4-метрики д с 2 "=" 1 / ( г 2 ) ( + д Икс 2 + д у 2 + д г 2 − д т 2 ) некоторые преобразования инвариантных метрик легко увидеть:

  • Три перевода для координат т , Икс , у
  • Преобразование масштаба: умножение т , Икс , у , г постоянным сроком λ
Спасибо Тримок! Где я могу найти преобразования, которые НЕ ТАК легко увидеть? :)
Это хороший вопрос... Если принять бесконечно малые преобразования г Икс , г у , г т → г Икс ′ , г у ′ , г т ′ , Eсть С О ( 2 , 1 ) симметрия. Но, возможно, у кого-то другого были бы лучшие идеи.

Чтобы продолжить ответ Тримока, вам могут пригодиться следующие ссылки:

Первая статья содержит обсуждение изометрии дискретной инверсии AdS, которая имеет решающее значение для вычисления объемных интегралов, связанных с корреляционными функциями в AdS/CFT. Поскольку это дискретная изометрия, инфинитезимальной формы не существует. Во второй статье (особенно в разделе 8.1) обсуждаются непрерывные изометрии метрики в дополнение к инверсионной изометрии.

Преобразование симметрии в пространстве AdS
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v