Что такого особенного в AdS?

Я собираюсь дать возможный спорный ответ, пытаясь спровоцировать некоторую дискуссию. Я делаю это добросовестно и полагая, что то, что я утверждаю, является правдой, и подкрепляю ссылками (комментарии «нужна ссылка» будут очень кстати). Я связываю это со следующим: я теоретик конденсированных сред, и я думаю, что обычное изложение AdS/CFT имеет телегу впереди лошади. Я сделаю длинный обход, но, надеюсь, я вернусь в конце и отвечу на настоящий вопрос.

Начнем с цепи со спином 1/2 на одномерной решетке бесконечной протяженности. Гильбертово пространство является произведением двумерных пространств. Пусть гамильтониан антиферромагнитный изинговского с внешним магнитным полем, так что при критической напряженности поля мы получим квантовый фазовый переход из антиферромагнитного в ферромагнитный. Мы имеем дело только с основным состоянием (т.е. при нулевой температуре). Давайте тогда сделаем пару замечаний: вдали от фазового перехода длина корреляции конечна, и энтропия запутанности любого заданного блока длины$L$асимптотически константа (как$L \rightarrow \infty$); при фазовом переходе корреляционная длина бесконечна, а энтропия запутывания имеет вид$\log(L)$. Обратите внимание, что это совершенно особые свойства основного состояния, поскольку типичное (определяемое как среднее по канонической мере Хаара) состояние имеет энтропию запутанности, которая масштабируется как$L$.

Поэтому вместо того, чтобы писать основное состояние с полной общностью

$$\left| \Omega \right\rangle = \sum_{s_1,s_2,\ldots} c_{s_1,s_2,\ldots} \left|s_1\right\rangle\otimes\left|s_2\right\rangle\otimes\ldots$$ где мы должны были бы указать матрицу $c$с экспоненциально большим числом измерений (охватывающих все гильбертово пространство), мы собираемся ограничить наше внимание так называемыми состояниями матричного произведения (MPS) в форме: $$\left|\Omega\right\rangle = \sum_{s_1,s_2,\ldots} \mathrm{Tr}\left(\hat A^{s_1} \hat A^{s_2} \ldots \right) \left|s_1\right\rangle\otimes\left|s_2\right\rangle\otimes\ldots$$ где матрицы $\hat A^{s_i}$произвольные матрицы размерности $m$. По сути, мы смотрим в угол гильбертова пространства, охваченного линейно растущим числом измерений. Теперь, как $m \rightarrow \infty$мы восстанавливаем полное гильбертово пространство, но вдали от критической точки конечное $m$достаточно, чтобы полностью (точно) описать основное состояние из-за предшествующей точки зрения о конечной энтропии запутанности; по сути размерность $m$определяет степень возможной запутанности между соседними сайтами, и анзац MPS полностью охватывает все такие состояния.

Но, как уже упоминалось, запутанность в критическом состоянии не ограничена. В этом случае мы можем использовать другой анзац, анзац многомасштабной перенормировки запутанности (MERA). Сооружение сложно описать словами, но легче на фотографиях. Если мы используем тензорные сетевые диаграммы (впервые идентифицированные Пенроузом и названные спиновыми сетями), мы изобразим каждый тензор как каплю с количеством ножек, равным его рангу. Работа с матрицами$\hat A^{s_i}$как тензоры 3-го ранга (один дополнительный из-за спинового индекса), мы можем изобразить MPS как:

где голени — индексы вращения. Затем МЕРА

(но представьте, что «дерево» продолжается вверх без конца). Суть в том, что мы материализуем огрубление (т.е. перенормировку) в описание основного состояния деревом распутывателей и огрублением. Опять же, если мы все сделаем правильно, это может описать основное состояние с идеальной точностью.

Эти диаграммы тензорных сетей также дают живописную причину того, почему энтропия запутанности масштабируется как константа и как$\log(L)$соответственно. Аргумент состоит в том, что запутанность локализована на границе блока (как и должно быть, поскольку каждое соединение в этой сети может поддерживать только конечную степень запутанности), но «граница» на самом деле масштабируется по-разному в двух случаях: некритичный случай, это просто ребра одномерной цепочки, которым явно наплевать на объем; в критическом случае он должен включать не только нижний слой, но и все слои над ним, и есть$\log(L)$слои.

Пока все в принципе (вплоть до крайних случаев) верно. Давайте теперь обратимся к более предположительным/интерпретационным вещам. Сосредоточьтесь на МЕРА. Обратите внимание, что если мы рассматриваем его как пространство, то естественной мерой расстояния является количество «скачков», которые нам нужно сделать от одной вершины к другой; заметим также, что в континуальном пределе это однородное гиперболическое пространство, т. е. AdS. В исходной модели Изинга в критической точке теория поля должна быть конформно-инвариантной и, следовательно, быть КТП. Это все, кроме AdS/CFT, за исключением того, что мы не указали, что коэффициенты MERA вычисляются с помощью квантовой теории гравитации (вероятно, этого не может быть, я думаю... центральный заряд равен 1, и ничто не является суперсимметричным).

В этот момент вы можете подумать: «Ага! Видите? AdS/CFT имеет первостепенное значение даже для таких обыденных вещей, как конденсированная материя!» Тем не менее, я хотел бы представить некоторые доказательства того, что на самом деле AdS/CFT является обыденным следствием очень умной идеи, заключающейся в геометрической интерпретации информации в основном состоянии.

Вместо этого давайте рассмотрим взаимодействующую фермионную систему в 1D. Подойдут обычные электроны с кулоновским отталкиванием. Известно, что основное физическое состояние — это состояние невзаимодействующих солитонов фракционированных электронов: холонов (несущих заряд) и спинонов (несущих спин). Тогда нашим анзацем будет MERA, но на определенной глубине дерева мы продублируем все, что выше него, так что в итоге мы получим две одномерные системы, одну для холонов и одну для спинонов. На геометрической картинке выше это будет так, как если бы мы приклеили дополнительное пространство AdS к обычному, так что у нас получилась вилка.

Причина, по которой это предполагает, что на самом деле основное состояние должно быть первым, а принцип голографии вторым, состоит из двух частей:

1. Голография верна только для особых состояний, таких как основное состояние, где энтропия запутанности масштабируется ниже основной массы.
2. Внутреннее AdS-пространство может не быть AdS или даже допускать какую-либо красивую геометрическую картину, а даже если и так, то оно может не даваться какой-то лагранжевой теорией поля.

Итак, вернемся к вопросу: «Что особенного в AdS?» Другие ответы, без сомнения, будут сосредоточены на особой геометрии, которая заставляет математику работать, но я бы ответил, что ключом является не внутреннее пространство, а граница: (супер-)КТП. Внутреннее пространство, в данном случае AdS, просто приходит на прогулку. Если бы у нас была какая-то другая граничная теория, у нас было бы другое внутреннее пространство или вообще не было бы пространства!

Использованная литература:

Основополагающая (?) статья о соответствии между MERA и голографией: http://arxiv.org/abs/0905.1317 Разветвление MERA как экзотической голографии: http://pirsa.org/10110076

Объявления$_d$в любом пространственно-временном измерении$d\geq 2$максимально симметричен с группой изометрий so(d-1,2) (для сигнатуры Минковского).

Эта группа совпадает с конформной группой в d-1 измерениях (опять же для сигнатуры Минковского).

Например, для AdS$_5$вы получаете группу изометрии so(4,2), которая является конформной группой в 4 измерениях. Это сопоставление представляет собой несколько тривиальную проверку согласованности, которую выполняет что-то вроде AdS.$_5$/CFT$_4$переписка может работать.

Еще одна особенность AdS в отличие от dS заключается в том, что он обеспечивает стабильный вакуум в большинстве теорий (тогда как dS является только метастабильным) и совместим с SUSY (тогда как dS нет).

Пространства, асимптотические к AdS, также обладают особыми свойствами. Браун и Хенно показали в d = 3, что любая непротиворечивая квантовая теория гравитации должна быть двойственной двумерной конформной теории поля в том смысле, что гильбертово пространство должно подпадать под неприводимые представления двух копий алгебры Вирасоро с центральным зарядом. определяется постоянной Ньютона и космологической постоянной. Это был важный предшественник соответствия AdS/CFT, где такая двойственность реализована явно (но в более высоких измерениях).

Пространство Минковского также максимально симметрично и стабильно, но не так восприимчиво к голографии, как AdS.

Таким образом, пространства AdS просты и обладают интересными физическими свойствами, поэтому они используются довольно часто.

Пространство AdS — это просто гиперболическое пространство с временным направлением. Вот хороший геометрический факт. Рассмотрим двумерное гиперболическое пространство в модели диска Пуанкаре. (Обобщение на более высокие измерения является простым.) Метрика$ds^2 = \frac{dr^2 + r^2 d\theta^2}{(1-r^2)^2}$. Соответствующий элемент площади$\frac{rdrd\theta}{(1-r^2)^2}$. Итак, рассмотрим круг на фиксированной$r = r_0$. Это имеет окружность$2\pi r_0\frac{1}{1-r_0^2}$и площадь$2\pi \int_0^{r_0} \frac{rdr}{(1-r^2)^2}$. За$r_0 = 1 - \epsilon$, с$\epsilon \ll 1$, это$\frac{\pi}{\epsilon} - \frac{\pi}{2} + {\cal O}(\epsilon)$а также$\frac{\pi}{2\epsilon} - \frac{\pi}{2} + {\cal O}(\epsilon)$, соответственно.

Что это значит? Это означает, что для кругов, больших по сравнению с радиусом кривизны пространства, периметр и площадь масштабируются так же, как вы увеличиваете круг. (В отличие от плоского пространства, где одно масштабируется как квадрат другого.) Я думаю, что это намек на голографию; в некотором смысле AdS — это пространство, в котором голография становится почти тривиальной, потому что$d$а также$d-1$размерные объемы почти идентичны, поэтому мы гораздо лучше понимаем голографию в AdS.

(Конечно, это имеет отношение к представлениям о конформной симметрии и т. д. Но я думаю, что этот геометрический факт проливает некоторый свет и его легко понять, не вдаваясь в подробности физики.)

Существуют некоторые расширения соответствия AdS/CFT, поэтому правильнее называть более общий набор двойственностей соответствием калибровок/гравитации. Во всех таких двойственностях имеется гравитационно-двойственный к некоторой квантовой теории поля, и рассматриваемая теория определяет граничные условия для всех объемных полей (включая асимптотику объемной геометрии). Состояния этих теорий соответствуют малым флуктуациям (нормируемым модам), движущимся в объеме этого пространства-времени, а состояние вакуума обычно соответствует максимально симметричному («пустому») пространству. Есть много таких примеров, которые не являются AdS даже асимптотически, хотя, к сожалению, асимптотически dS еще не является одним из них (частично потому, что неясно, что на самом деле означает выражение «асимптотически dS»). Асимптотически плоские примеры,

Но в множестве всех голографических дуальностей есть нечто особенное в пространствах, асимптотически AdS. Они соответствуют теориям, которые становятся конформными на коротких расстояниях. Говоря языком Вильсона, это теории, поток ренормализационной группы которых может быть продолжен на все энергетические шкалы, поэтому они являются полностью четко определенными квантовыми теориями поля без ограничения. Такие теории поля определяются как релевантные деформации фиксированных точек в УФ, и голографический перевод этого утверждения состоит в том, что дуальная гравитация асимптотически AdS.

Продолжая использовать язык Вильсона, обычно нужно использовать КТП только как эффективную теорию поля, и тогда она по своей сути определяется УФ-отсечкой. Такая более общая квантовая теория поля (определенная только до определенного энергетического масштаба) соответствует случаям калибровочно-гравитационного дуализма, которые асимптотически не являются AdS. Соответствие между ТЭС с отсечкой и неасимптотически-AdS-пространством (по крайней мере, в некоторых случаях называемое «соответствием не-AdS/не-CFT») менее хорошо изучено, чем AdS/CFT (с учетом объема работы над AdS). /CFT, это относится и ко многим другим предметам...). Но это очень полезная и интересная тема, в некотором смысле более полезная, чем исходная переписка AdS/CFT, которая открыла шлюзы.

В любом случае тип граничных условий, налагаемых на пространство, носит ограничительный характер только при обсуждении глобальных вопросов. Любой интересующий вас локальный процесс (скажем, образование и испарение черных дыр) можно вложить в асимптотически AdS-пространство со сколь угодно малой космологической постоянной. Тогда я бы никоим образом не считал набор примеров, предоставленных AdS/CFT, «нефизическим» — он может не отвечать на все возможные вопросы, которые могут интересовать человека, но это лучший способ ответить на целый ряд увлекательных вопросов. те.

The $AdS$в евклидовой форме есть гиперболическое пространство. В двухмерной гиперболической плоскости${\cal H}^2$является односвязным многообразием с постоянной гауссовой кривизной$-1$. Двумерный$AdS_2$держится вблизи горизонта событий черной дыры, то есть диска Пуанкаре.${\cal D}^2~=~\{z:|z|~<~z_0\}$, а связанная с пространством-временем Риндлера верхняя полуплоскость${\cal H}^2~=~\{z:Im(z)~>~0\}$. Группа изометрий$Iso({\cal H}^2)$множество гладких преобразований$z^\prime~=~gz$которые удовлетворяют гиперболоидной метрике для$s~=~s(z,~gz)$. Полуплоскость и диск Пуанкаре связаны конформным преобразованием, поэтому преобразования координат задаются одной и той же группой. В полуплоскости изометрии представляют собой дробно-линейные преобразования или модулярную группу.

$$g:{\cal H}~\rightarrow~{\cal H},~z:~\mapsto~gz:~=~{{az~+~b}\over{cz~+~d}},~\left(\matrix{a & b\cr c & d}\right)~\in~SL(2,~{\bf R}).$$ Матрицы $g$а также $-g$являются одними и теми же дробно-линейными преобразованиями, поэтому изометрии $Iso({\cal H}^2)$можно отождествить с проективной группой Клейна $PSL(2,~{\mathbb R})~=$ $SL(2,~{\mathbb R})/\{\pm 1\}$. Группа дополнительно ограничивается подгруппой изотропии, которая оставляет элементы из ${\cal H}^2$без изменений $z~=~gz$. Любое такое $g~\in~PSL(2,~{\mathbb R})$определяет $SO(2)$ротационная группа. затем ${\cal H}^2~=~PSL(2,~{\mathbb R})/SO(2)$.

Дискретная структура или$PSL(2,{\mathbb Z})$проявляется в мозаичной симметрии гиперболической полуплоскости или диска. Эти симметрии видны в отпечатках Эшера, называемых предельными кругами. Эти дискретные структуры дают структуру MERA, на которую ссылается Геннет. «Нагромождение» структуры по направлению к границе является перенормировкой изинговской системы спинов для спинов в вершинах мозаики. Далее следует краткий обзор дискретного смежного класса$AdS$завершение из-за Чарльза Фрэнсиса.

http://www.math.u-psud.fr/~frances/

Граничное пространство$\partial AdS_{n+1}$пространство-время Минковского или пространство-время$E_n$это просто связано с тем, что$AdS$таков, что$AdS_{n+1}\cup E_n$является конформным пополнением$AdS_{n+1}$при дискретном действии клейнианской группы. Для группы Лоренца$SO(2,~n)$существует дискретная группа$SO(2,n,Z)$которая является группой Мёбиуса. Для дискретной подгруппы$\Gamma$подмножество$SO(2,~n,~Z)$которое подчиняется некоторым регулярным свойствам точек накопления в дискретном множестве$AdS_{n+1}/\Gamma$является конформным действием$\Gamma$на сфере$S_n$. Затем это карта, которая строит$AdS/CFT$переписка. При условии$AdS_n~=~O(n,2)/O(n,1)$эта смежная структура является формой Клиффорда-Клейна или двойной смежной структурой.

Светоподобные геодезические в$E^n~=~M^n$, пространство-время Минковского, являются копиями$RP^1$, которые в данной точке p определяют множество, являющееся световым конусом$C(p)$. Точка p есть проективное действие$\pi(v)$за$v$вектор в локальном патче$R^{n,2}$так что$C(p)$затем$\pi(P\cap C^{n,2})$, за$P$нормально для$v$, а также$C^{n,2}$регион на$R^{n,2}$где интервал исчезает.

Пространство светоподобных геодезических есть множество инвариантов и тогда благодаря стабилизатору на$O(n,2)$, поэтому пространство светоподобных кривых$L_n$отождествляется с частным$O(n,2)/P$, куда$P$является подгруппой, определяемой фактором между подгруппой с топологией Зарисского или подгруппой Бореля и основной группой$G~=~O(n,~2)$. Это частное$G/P$является проективным алгебраическим многообразием или многообразием флагов и$P$является параболической подгруппой. Естественное вложение группы$H~\rightarrow~G$состоит из проективного многообразия$G~\rightarrow~G/P$является изоморфизмом между$H$а также$G/P$. Тогда это полупрямой продукт$G~=~P~\rtimes~ H$. Для$G$Любые$GL(n)$параболическая группа является подгруппой верхнетреугольных матриц. Это группа Гейзенберга.

Эта связь с группами Гейзенберга и параболическими группами особенно интересна. Структура здесь имеет$\theta$-реализация функции и связана с плотностью состояний в теории струн. Это приводит, на мой взгляд, в какую-то очень глубокую структуру, которая вовсе не исследована до конца.