Преобразование скорости удара в величину давления

Предыстория
Существует хороший справочник ¹ по физике звуковых/ударных волн в твердых телах (см. главу XI). Я нашел следующее (на странице 688) очень интересным и относящимся к вашему вопросу:

В твердом теле или жидкости ударная волна силой даже в сто тысяч атмосфер считается слабой. Такая волна мало чем отличается от акустической волны: она распространяется со скоростью, близкой к скорости звука, сжимает материал всего на несколько процентов или, может быть, порядка десяти процентов и сообщает материалу за фронтом скорость, которая составляет порядка одной десятой скорости самой волны... то сильной ударной волной для конденсированных сред является та, давление которой составляет не менее десятков или сотен миллионов атмосфер.

Давайте определим$P$как давление и$\varepsilon$как внутренняя энергия твердого тела. Их можно разделить на две части: эластичная (индекс$c$) и термическая часть.$P_{c}$а также$\varepsilon_{c}$зависит только от плотности материала,$\rho$, или конкретный объем,$V$знак равно$1/\rho$. Они равны полному давлению и удельной внутренней энергии при абсолютном нуле или$T = 0 \ K$. Предположим, что удельный объем при$T = 0$а также$P = 0$дан кем-то$V_{oc}$, что всего на ~1-2% меньше, чем удельный объем на СТП ,$V_{o}$, для большинства металлов.

Кривая потенциальной энергии, или кривая, определяющая$\varepsilon_{c}$, качественно похожа на кривую потенциальной энергии, описывающую взаимодействие между двумя атомами в зависимости от внутриядерного расстояния,$\Delta x_{n}$. Когда$V > V_{oc}$, силы притяжения преобладают, но быстро падают по мере увеличения внутриядерных расстояний (например, по мере$T$увеличивается). Другими словами, когда атомы расходятся дальше друг от друга$\varepsilon_{c}$будет асимптотически возрастать до некоторого значения$U$, что примерно соответствует энергии связи атомов в теле. Таким образом,$U$представляет собой энергию, необходимую для удаления всех атомов из объекта в бесконечность, которая примерно равна теплоте парообразования для материала (более подробно я написал о теплоте парообразования и предоставил несколько полезных ссылок в этом ответе ). Например, теплота атомизации (аналогично испарению) железа примерно равна$415 kJ mol^{-1}$или ~4,3 эВ/атом. Таким образом,$\varepsilon_{c} (V) \rightarrow U$в качестве$\Delta x_{n} \rightarrow \sim 2$.

И наоборот, силы отталкивания преобладают, если$V < V_{oc}$. Мы можем определить это количественно, считая, что работа, совершаемая при сжатии материала, будет равна увеличению внутренней энергии. Другими словами:

$$P_{c} = - \left( \frac{ d \varepsilon_{c} }{ d V } \right)_{T = 0}$$ что эквивалентно утверждению, что это изотермическое / изоэнтропическое уравнение для холодного сжатия. Знак минус показывает, что если бы к телу приложили растягивающую силу , силы связи между атомами действовали бы как восстанавливающая сила. Наклон $P_{c}$кривая в $P = 0$(или 1 атм) определяет сжимаемость материала при нормальных условиях (т.е. $T = T_{o} \sim 300 \ K$). Это дается: $$\kappa_{o} = - \frac{ 1 }{ V_{o} } \left( \frac{ \partial V }{ \partial P } \right)_{T_{o}}$$ Обратите внимание, что наклон $\kappa_{o}$определяет скорость упругих волн внутри объекта. Таким образом, давайте определим скорость звука в твердом теле как эту скорость, определяемую выражением: $$C_{o} = \sqrt{ - V^{2} \left( \frac{ \partial P }{ \partial V } \right)_{S} }$$ где индекс $S$указывает изоэнтропическую производную, а частная производная будет отрицательной, чтобы избежать мнимых скоростей звука.

Простая аппроксимация нулевого порядка
Мое рефлекторное предположение состоит в том, что простейший подход, учитывая, что вы допускаете упругие отношения столкновения, состоит в том, чтобы просто аппроксимировать$\Delta \varepsilon_{c}$по конечной кинетической энергии вашего ударяющего объекта, предполагая, что ударник (?) не двигается после удара.

Аппроксимация первого
порядка

Ниже мы рассмотрим эффекты на цилиндрическом стержне (используемом для симметрии и простоты).

При малых деформациях относительное изменение объема$\Delta V/V$, дан кем-то:

$$\frac{ \Delta V }{ V } = - \kappa \ P = - \frac{ P }{ K }$$ куда $K = 1/\kappa$объемный модуль .

Давайте определим$C_{1}$как скорость волны сжатия в материале из-за приложения постоянного давления,$P$, приложенный к одному концу стержня в некоторый начальный момент времени. Материал между фронтом волны и концом стержня сжимается с постоянной скоростью,$u$. В этих условиях мы можем использовать закон Гука и показать, что для малых нагрузок и деформаций имеем:

$$\frac{ u }{ C_{1} } = \frac{ P }{ E }$$ куда $E$— модуль Юнга . Через некоторое время, $t$, масса материала, охваченная волной, приобретет импульс $\rho \ C_{1} \ t \ u$, который должен быть равен $P \ t$из закона Ньютона, который дает нам: $$P = \rho \ u \ C_{1}$$

Более подробный ответ
К сожалению, у меня нет времени на полный вывод, но я предлагаю главу XI в Справке 1 и использовать Ссылку 2 для вспомогательной информации. Зельдович и Райзер в основном тратят всю главу XI на обсуждение этой темы и вникают во все нюансы, которые применимы к вашей проблеме (например, волна давления, вызванная сжатием ударной волны). Я предполагаю, что многое из этого потребует численного анализа, но есть отправные точки и аналитические приближения, которые, вероятно, сэкономят вам много времени.

использованная литература

1. Зельдович Я.Б., Ю.П. Райзер (2002) Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений , под ред. WD Hayes и RF Probstein, Mineola, NY, Dover Publications, Inc., The Dover Edition; ISBN-13: 978-0486420028.
2. Уитэм, Великобритания (1999), Линейные и нелинейные волны , Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc.; ISBN: 0-471-35942-4.