Преобразования Лоренца для спиноров

Самая известная теорема Вигнера утверждает, что в комплексном гильбертовом пространстве$H$, всякое биективное отображение, переводящее лучи в лучи (луч — единичный вектор с точностью до фазы) и сохраняющее переходные вероятности, представляется (с точностью до фазы) унитарным или антиунитарным (в зависимости от исходного отображения, если$\dim H>1$) карта в$H$.

Работа со спинорами$\Psi \in \mathbb C^4$,$H= \mathbb C^4$и не существует произведения гильбертова пространства (положительной полуторалинейной формы), для которого вероятности перехода сохраняются под действием$S(\Lambda)$, поэтому теорема Вигнера не вступает в игру.

более того$S$имеет дело с конечномерным гильбертовым пространством$\mathbb C^4$и можно доказать, что в конечномерных гильбертовых пространствах не существует нетривиального унитарного представления для некомпактной связной полупростой группы Ли, не содержащей собственных нетривиальных замкнутых нормальных подгрупп. Этим свойством обладает ортохронная собственная группа Лоренца. Простое рассуждение расширяет отрицательный результат до его универсального покрытия.$SL(2, \mathbb C)$.

Нетривиальные унитарные представления$SL(2,\mathbb C)$обязательно бесконечномерны. Один из самых элементарных случаев описывается гильбертовым пространством$L^2(\mathbb R^3, dk)\otimes \mathbb C^4$где бесконечномерный множитель$L^2(\mathbb R^3, dk)$появляется.

Это представление является строительным блоком для построения других представлений и, в частности, фоковского пространства квантового поля Дирака.

Это распространенное заблуждение.

Группа Лоренца$SO(3,1)$(или его двойная обложка$SL(2,\mathbb{C})$если вы хотите следовать вигнеровскому анализу симметрий в КМ) некомпактна . Это означает, что он не имеет конечномерных унитарных представлений (невозможность выбора эрмитовых элементов базиса Клиффорда как раз следствие этого).

Когда вы конструируете классические спиноры Дирака, вам не нужна унитарность. Действительно, нет необходимости$S(\Lambda)$быть унитарным представительством. Здесь мы имеем дело с классическим полем, а унитарность в классической физике не требуется.

В КТП мы имеем дело с квантовым полем Дирака. Пространство состояний (фермионное фоковское пространство) свободной КТП бесконечномерно и унитарно . Это не противоречит исходному утверждению именно из-за бесконечной размерности.

Классификация бесконечномерных унитарных иррепарантов группы Пуанкаре (если хотите, неоднородной группы Лоренца) была сделана Вигнером. Он использует конечномерную неунитарную теорию представления$SL(2,\mathbb{C})$(что эквивалентно конечномерной теории представлений комплексифицированной алгебры Ли$\mathfrak{so}(4)\sim\mathfrak{D}_2$) сильно.

Резюмируя: отличие состоит в том, что образующие Пуанкаре КТП действуют унитарно на бесконечномерном фоковском пространстве. Это действие соблюдает классическое преобразование спинорного поля, но оно не должно быть унитарным и не является унитарным.