Доказательство Вигнера отсутствия конечного унитарного представления группы Лоренца

Пусть, как в статье Вигнера,$D$— конечное унитарное представление группы Лоренца. Мы доказываем, что$D$тривиально. Как$D$является представлением, ваша формула выше дает

$$D(M(\alpha))\,D(\Lambda(\gamma))\,D(M(\alpha))^{-1}=D(\Lambda(\alpha\gamma)).$$ В частности, унитарные матрицы $$D\Lambda(\gamma)\quad \mathrm{and}\quad D\Lambda(\alpha\gamma)$$ имеют один и тот же конечный набор собственных значений для всех действительных чисел$\alpha$и$\gamma$.

Вигнер строит преобразования Лоренца$\Lambda(\gamma)$, для вещественного параметра$\gamma$, таким образом, что

$$\Lambda(\gamma)\Lambda(\gamma')= \Lambda(\gamma+\gamma').$$ В частности, заменив$\frac12\gamma$для$\gamma$и$\gamma'$, надо $$\Lambda(\tfrac12\gamma)^2=\Lambda(\tfrac12\gamma+\tfrac12\gamma)=\Lambda(\gamma),$$ т.е.,$\Lambda(\tfrac12\gamma)$представляет собой преобразование Лоренца с квадратным корнем из$\Lambda(\gamma)$. Следовательно, множество собственных значений$D\Lambda(\tfrac12\gamma)$представляет собой набор квадратных корней из множества собственных значений$D\Lambda(\gamma)$, как$D\Lambda(\frac12\gamma)$является диагонализируемым. Однако, по тому, что мы видели выше, множество собственных значений$D\Lambda(\tfrac12\gamma)$также равен набору собственных значений$D\Lambda(\gamma)$. Отсюда следует, что конечное множество собственных значений оператора$D\Lambda(\gamma)$содержит квадратный корень из каждого своего элемента. Следовательно, единственное собственное значение$D\Lambda(\gamma)$является$1$, и$D\Lambda(\gamma)$является личностью. Поскольку общие элементы группы Лоренца имеют вид$\Lambda(\gamma)$, представление$D$тривиально.