Группа симметрии и представление частицы со спином NNN

Здесь есть несколько неясностей, поэтому я сделаю свой ответ модульным.

• Представительство$R$группы$G$векторное пространство$V$вместе с операторами$R(g)$для$g \in G$которые действуют на это пространство. Таким образом, имея только векторное пространство, бессмысленно говорить, что оно представляет; нужно указать операторы.
• Учитывая только векторное пространство$V$, бессмысленно спрашивать, что$G$является. Любое векторное пространство можно рассматривать как представление буквально любой группы$G$что угодно, с$R(g)$просто быть, например, единичной матрицей для каждого$g \in G$.
• В физике мы начинаем с векторного пространства$\mathcal{H}$, пространство состояний квантовой системы. Затем мы определяем физические операции, такие как повороты, повороты изоспинов, повороты цветов и так далее. Каждая из этих операций, как множество, имеет структуру группы ($SU(2)$,$SU(2)$, и$SU(3)$).
• Мы постулируем, что эти операции (например, физическая операция вращения системы) связаны с операторами на$\mathcal{H}$, изготовление$\mathcal{H}$в представление соответствующей группы.
• Мы говорим, что система обладает, например, вращательной симметрией, если гамильтониан коммутирует со всеми операторами вращения. Это означает, что состояния в каждом неприводимом представлении имеют одинаковую энергию, что, по сути, делает анализ симметрии полезным.

Хорошо, теперь давайте перейдем к вашему фактическому вопросу. Нам дается$2N+1$состояния спина$N$частица, и вы хотите знать, симметрична ли она относительно$SU(2N+1)$.

• Государства действительно представляют собой$SU(2)$, где$SU(2)$происходит от вращений; это просто по определению вращения$N$частица. Если у нас есть вращательная симметрия, то все состояния должны иметь одинаковую энергию.
• Обратите внимание, что спин используется почти исключительно для описания представлений операторов вращения. Нет спина, связанного с представлением$SU(3)$. Даже представление изоспина с двумя состояниями, которое также имеет группу симметрии$SU(2)$, не называется «спин 1/2» или даже «изоспин 1/2». Вместо этого его обычно называют изоспиновым дублетом или$2$изоспина.
• Математически состояния действительно могут формировать представление$SU(2N+1)$, где представление матрицы$U \in SU(2N+1)$это просто сама матрица. Но они также могут образовывать (приводимое) представление$SU(2N)$, где представление$U \in SU(2N)$является $$R(U) = \begin{pmatrix} U & \\ & 1 \end{pmatrix}.$$ Точно так же они могут быть представлением$SU(2N-1)$, или буквально любой группы, где представление$R(U) = I$. Это всего лишь второй пункт выше. Обратите внимание, что ни одну из этих групп нельзя назвать группой симметрии, если вы не знаете, что операторы представления коммутируют с гамильтонианом.
• По сути, составление операторов представления бесполезно в физике, если только они не соответствуют физической операции. В статье, на которую вы ссылаетесь , утверждается, что система вращения$N$атомы имеют симметрию за счет поворота сверхтонких состояний друг в друга; это не слишком отличается, например, от вращения цвета или изоспина. Так вот что$SU(2N+1)$средства, но это характерно для этой системы, которую они изучают.

Пространство представления спина$j$представление можно рассматривать как симметричный набор$2j$кубиты. Например для$j = \frac{3}{2}$, ортонормированный базис его$4$-мерное пространство представления задается:

Группа$SU(2j+1)$содержит элементы, которые по-разному вращают кубиты и, кроме того, смешиваются между собой.

$SU(2)$всегда является группой симметрии для частиц любого спина, так как генераторами спина являются вращения. Что меняется, так это размерность представления$SU(2)$вы должны использовать. Для спин-$N$частиц, мы используем представление$SU(2)$на$\mathbb{C}^{2N+1}$.

Это не то же самое. А$2N+1$размерное представление SU (2) будет иметь только три генератора:$L_+, L_-$и$L_z$. В частности,$L_+$и$L_-$соединять состояния только с$\Delta m= \pm 1$, т.е. может соединять только "соседние" состояния (это расплывчатая терминология). Кроме того, размер матричных элементов весьма ограничен, так как основное коммутационное соотношение$[L_+,L_-]=2L_z$должно быть сохранено представлением.

С другой стороны, генераторы$su(2n+1)$имеют форму$C_{ij}$с$i,j=1,\ldots, 2n+1$которые имеют ненулевые матричные элементы между$i$и$j$, т.е. они могут соединять «несоседние» государства. Размер матричного элемента$C_{ij}$является$1$и матрицы должны удовлетворять$[C_{ij},C_{k\ell}]= \delta_{jk}C_{i\ell}-\delta_{j\ell}C_{kj}$.

Другими словами, да, можно построить$2n+1$размерное представление$su(2)$но это представление НЕ совпадает с определяющим$2n+1$размерное представление$su(2n+1)$.

В качестве простого примера рассмотрим матрицы Гелл-Манна для$su(3)$. Вы можете достаточно легко построить$3$-мерный неотразимый$su(2)$углового момента$\ell=1$, но три матрицы для$L_+,L_-$и$L_z$совсем не похожи на 8 матриц Гелл-Манна; кое-что можно написать, но не все$su(2)$генераторы являются линейными комбинациями матриц Гелл-Манна, но, конечно, невозможно записать 8 линейно независимых матриц Гелл-Манна в терминах 3 линейно независимых матриц углового момента размерности$3$. Во всяком случае, есть две диагональные матрицы Гелл-Манна, но только одна диагональная$su(2)$матрица.