Закон обратных квадратов в измерениях DDD (два случая)

Question

Закон обратных квадратов в измерениях DDD (два случая)

Физика
распространитель
зеленые функции
преобразование Фурье
квантовая теория поля
домашнее задание и упражнения

Артем Александров

Я читаю А. Зи "Кратко о квантовой теории поля" и решил задачу о законе обратных квадратов в $D$ размеры. К сожалению, меня смутили некоторые результаты. Позвольте мне кратко описать мои выводы и сосредоточиться на результатах. Энергия взаимодействия имеет следующий вид:

Е (р) "=" - \int \frac{г^{Д} к}{(2 π)^{Д}} \frac{е^{я к \cdot р}}{к^{2} + м^{2}} \equiv - Вт (р),

$E(r)=-\int\frac{d^Dk}{(2\pi)^D}\frac{e^{i{\bf k}\cdot{\bf r}}}{k^2+m^2}\equiv -W(r),$ где

W (r)

$W(r)$ можно рассчитать с помощью параметризации Швингера (см. Вики) с параметром

A = k^{2} + m^{2}

$A=k^2+m^2$ . Затем я получил результат:

Вт (р) "=" \frac{1}{(2 π)^{Д / 2}} {(\frac{м}{р})}^{Д / 2 - 1} К_{Д / 2 - 1} (м р),

$W(r)=\frac{1}{(2\pi)^{D/2}}\left(\frac{m}{r}\right)^{D/2-1}K_{D/2-1}(mr),$ где

K_{ν}

$K_{\nu}$ есть функции Бесселя 2-го рода. Результат демонстрирует правильный ответ для массивного силового носителя (

m \neq 0

$m\neq 0$ ) в 3D, но я не понимаю, как получить

W (r)

$W(r)$ в 2D случае с массивным носителем, потому что

K_{0} (m r) \neq \ln (m r)

$K_0(mr)\neq \ln(mr)$ . Более того, мой расчет падает в случае безмассового носителя (

m = 0

$m=0$ ), это легко увидеть. Может ли кто-нибудь объяснить, как оценить правильные ответы для безмассового носителя из моего расчета?

СлучайныйПреобразование Фурье

(m / r)^{D / 2 - 1} = 1 + \frac{ϵ}{2} \log (m / r)

$(m/r)^{D/2-1}=1+\frac\epsilon2\log(m/r)$ , с

d = 2 + ϵ

$d=2+\epsilon$ .

Артем Александров

как размерная регуляризация?

Артем Александров

Хорошо, позвольте мне попробовать это. я расширяю

K_{ν}

$K_{\nu}$ и

(m / r)

$(m/r)$ в серию. Таким образом, я получаю:

К_{0} (м р) - К_{0} (м р) бревно (\frac{м}{р}) ϵ + . . .

$K_{0}(mr)-K_{0}(mr)\log\left(\frac{m}{r}\right)\epsilon+...$ И...? Мне нелегко видеть

\log (r)

$\log(r)$ Закон для безмассового носителя.

Зохаиб Аарфи

Вы должны увидеть это в классической теории поля Марка Берджесса. Он дал эти решения.

Артем Александров

Уважаемый Зохаиб, не могли бы Вы уточнить? Классические ковариантные поля М. Берджесса?

Ответы (2)

Закон обратных квадратов в измерениях DDD (два случая)

$(m/r)^{D/2-1}=1+\frac\epsilon2\log(m/r)$ , с $d=2+\epsilon$ .
Хорошо, позвольте мне попробовать это. я расширяю $K_{\nu}$ и $(m/r)$ в серию. Таким образом, я получаю: $К_{0} (м р) - К_{0} (м р) бревно (\frac{м}{р}) ϵ + . . .$ $K_{0}(mr)-K_{0}(mr)\log\left(\frac{m}{r}\right)\epsilon+...$ И...? Мне нелегко видеть $\log(r)$ Закон для безмассового носителя.
Вы должны увидеть это в классической теории поля Марка Берджесса. Он дал эти решения.
Уважаемый Зохаиб, не могли бы Вы уточнить? Классические ковариантные поля М. Берджесса?

Артем Александров · Answer 1

Спасибо, AccidentalForierTransform и Шон Э. Лейк!

(1) Чтобы получить правильный ответ для безмассового носителя, можно использовать параметризацию Швингера и получить следующее выражение:

Е (р) "=" - \frac{2^{Д / 2 - 1}}{р^{Д - 2}} Г (\frac{Д}{2} - 1) \frac{1}{2 (2 π)^{Д / 2}} .

$E(r)=-\frac{2^{D/2-1}}{r^{D-2}}\Gamma\left(\frac{D}{2}-1\right)\frac{1}{2(2\pi)^{D/2}}.$ (2) К сожалению, оба случая (массивные и безмассовые носители) имеют «плохое поведение» для

D = 2

$D=2$ . Гамма-функция имеет полюс в

z = 0

$z=0$ . Чтобы справиться с этим, можно использовать размерную регуляризацию: заменить

D \to D + 2 ϵ

$D\rightarrow D+2\epsilon$ . Таким образом, мера интегрирования должна измениться:

\frac{г^{Д} к}{(2 π)^{Д}} \to \frac{г^{Д + 2 ϵ} к}{(2 π)^{Д + 2 ϵ}},

$\frac{d^{D}k}{(2\pi)^D}\rightarrow \frac{d^{D+2\epsilon}k}{(2\pi)^{D+2\epsilon}},$ но при такой замене надо подправить параметр размерности и регуляризации

μ

$\mu$ . Наконец, мера имеет следующий вид:

\frac{г^{Д + 2 ϵ} к}{(2 π)^{Д + 2 ϵ}} {мю}^{- 2 ϵ} .

$\frac{d^{D+2\epsilon}k}{(2\pi)^{D+2\epsilon}}\mu^{-2\epsilon}.$ Эта регуляризация дает физически правильный ответ. Гамма-функцию следует разложить в ряд:

Г (ϵ) \approx \frac{1}{ϵ} - γ .

$\Gamma(\epsilon)\approx\frac{1}{\epsilon}-\gamma.$ И дробь

(1 / (μ r))^{ϵ}

$(1/(\mu r))^{\epsilon}$ также следует расширить:

{(мю р)}^{- ϵ} \approx 1 - п (мю р) ϵ .

$\left({\mu r}\right)^{-\epsilon}\approx 1 - \ln (\mu r)\epsilon.$

Учитывая все вышеизложенное, ответ

Е (р) "=" \frac{1}{2 π} п (мю р),

$E(r)=\frac{1}{2\pi}\ln(\mu r),$ который имеет правильную размерность (в отличие от

- \ln r / (2 π)

$-\ln r/(2\pi)$ что является «нефизическим» из-за логарифма длины).

Комментарии :

размерная регуляризация не меняет характер сингулярности гамма-функции для $D=2$ потому что расширение содержит полюс в 0.
параметризация Швингера очень удобна для расчета типа пропагатора, поскольку позволяет избежать шарады с гиперсферическими координатами
конечно эти фокусы несложные для хороших физиков но я не нашел никаких объяснений и решений этой проблемы

См. также: предельные формы функций Бесселя в стандартных текстах. например, dlmf.nist.gov/10.30

ей-богу · Answer 2

Я также читаю книгу Зи. Пытаясь ответить на этот вопрос, я срезал путь и рассмотрел безмассовый случай. $(m=0)$ с самого начала идти. Затем я заметил, что $E(r)$ сводится к функции Грина для $D$ -мерное уравнение Лапласа. Хорошо известно, или по закону Гаусса, можно найти, что $\nabla E(r) = \frac{1}{S_{D-1}} \propto 1/r^{D-1}$ , где $S_{D-1}$ это площадь поверхности $D$ -мерная сфера. Таким образом, $E(r)\propto 1/r^{D-2}$ . В случае $D=2$ , $\nabla E(r) \propto 1/r \implies E(r) \propto \ln(r)$ .

Если вы хотите увидеть расчеты для D-мерного случая, обратите внимание на меня.
Кроме того, ваш ответ не совсем верен. Действительно, вы вычисляете логарифмическую функцию аргумента с размерностью длины. Аргумент логарифмических функций должен быть безразмерным.
Ах ты прав! Спасибо что подметил это!

Закон обратных квадратов в измерениях DDD (два случая)

Артем Александров

СлучайныйПреобразование Фурье

Артем Александров

Артем Александров

Зохаиб Аарфи

Артем Александров

Ответы (2)

Артем Александров

Шон Э. Лейк

ей-богу

Артем Александров

Артем Александров

ей-богу

Безмассовый бозон в 2D и его (запаздывающий) пропагатор

Квантовая теория поля, решение дельта/зеленой функции

Функция Клейна-Гордона Грина: производная дельта-распределения?

Коммутатор безмассового скалярного поля

Волновой функционал Шредингера (квантовые поля) - Решение функциональных интегралов Гаусса

Пропагатор из интеграла по путям

Как получить явный вид функции Грина уравнения Клейна-Гордона?

При поиске функции зеленого, как определить отклонение u(x)u(x)u(x)

Интуиция для пропагаторов со спином 1/2 и 1

Представление спектра течений Дирака