Понимание функции Евклида Грина

Рассмотрим скалярное поле, связанное с источником

$$(\Box - m^2)\phi(x) = -J(x)\tag{1}.$$ Тогда отклик источника определяется функцией Грина $G(x-y)$, что удовлетворяет $$(\Box - m^2)G(x-y)=-\delta(x-y) \tag{2}.$$ В евклидовой сигнатуре функция Грина, являющаяся решением предыдущего уравнения, может быть записана как преобразование Фурье $$G(x-y)= \int \frac{d^dk}{(2\pi)^d} \frac {e^{ik\cdot(x-y)}}{k^2+m^2} \tag{3}.$$ Я не могу понять, как с учетом (3) решение (1) может быть выражено в виде интеграла $$\phi(x)=\int d^d y G(x-y)J(y)\tag{4}.$$

Я предполагаю, что нужно взять (1) и как-то действовать (4), но сейчас я не вижу, как прийти к (4). Буду признателен за помощь.

PS Моя главная проблема заключается в том, что в следующем полудоказательстве

$$\begin{align} (\Box-m^2)\phi &= (\Box - m^2)\int dy \, J(y) \phi_i(x-y) \\ &= \int dy \, J(y) {\color{red}{(\Box - m^2)}}\phi_i(x-y) \\ &= \int dy \, J(y) {\color{red}{\delta(x-y)}} \\ &= J(x) \end{align}$$ Я не только не получаю знак минус перед (1), но и не понимаю, почему мы используем однородное уравнение Клейна-Гордона для получения красной дельта-функции в задаче, где мы начали с неоднородной!