Книга Полчински, сомнения, связанные с X0X0X_{0}

Я читаю книгу Полчински и спрашивал, сделал ли я неправильный расчет или я чего-то не понял. Ну, в принципе.

$$Z[p]=\int [DX^{\mu}]e^{-S[X]}e^{ipX}$$ $$=(2\pi)^{d}\delta^{d}(p_{0})\det{}^{\prime}\left(\frac{-\nabla^{2}}{4\pi^{2}\alpha'}\right)^{-d/2}\exp(-\frac{1}{2}\int d^{2}\sigma_{1} d^{2}\sigma_{2}p_{\mu}(\sigma_{1})p^{\mu}(\sigma_{2})G'(\sigma_{1},\sigma_{2})).\tag{6.2.6}$$ Здесь, $$(2\pi)^{d}\delta^{d}(p_{0})=\prod_{i=1}^{d}\int dx^{i}_{0}\exp\left(ix^{i}_{0}\int d^{2}\sigma X_{0}(\sigma)p_{i}(\sigma)\right).$$ Эти равенства, Вы можете найти их в главе 6, стр. 170. Итак, я думал о значении $X_{0}$, что для меня является ядром оператора лапласиана. Действительно, я пытался это сделать.

Я исхожу из этого уравнения :($-\frac{\delta}{\delta X_{\mu}(\sigma)}\langle X^{\nu}(\sigma')\rangle=0$)

$$\frac{1}{2\pi\alpha'}\nabla^{2}\langle X^{\mu}(\sigma)X^{\nu}(\sigma')\rangle=-\eta^{\mu\nu}g^{-1/2}\delta^{2}(\sigma-\sigma')\langle 1\rangle$$ $$-\frac{1}{2\pi\alpha'}\nabla^{2}\frac{\delta}{\delta p_{\mu}(\sigma)}\frac{\delta}{\delta p_{\nu}(\sigma')}Z[p]|_{p=0}=-\eta^{\mu\nu}g^{-1/2}\delta^{2}(\sigma-\sigma')Z[p]|_{p=0}$$ $$-\frac{1}{2\pi\alpha'}\nabla^{2}\frac{\delta}{\delta p_{\mu}(\sigma)}\frac{\delta}{\delta p_{\nu}(\sigma')}Z[p]|_{p=0}=\frac {1}{2\pi\alpha'}\nabla^{2}[...]$$ Это все выражение $[...]$ $$[...]=\det\left(\frac{-\nabla^{2}}{4\pi^{2}\alpha'}\right)\left[(2\pi)^{d}\delta^{d}(p_{0})\eta^{\mu\nu}G'(\sigma,\sigma')\exp\left(\frac{-1}{2}ppG'\right)\right.$$ $$-\frac{\delta}{\delta p_{\mu}(\sigma)}\left((2\pi)^{d}\delta^{d}(p_{0})\right)\left\lbrace-\int d^{2}\sigma_{1}p^{\nu}(\sigma_{1})G'(\sigma_{1},\sigma')\right\rbrace\exp\left(\frac{-1}{2}ppG'\right)+(\mu\leftrightarrow\nu,\sigma\leftrightarrow\sigma')$$ $$-(2\pi)^{d}\delta^{d}(p_{0})\left\lbrace\int d^{2}\sigma_{1}d^{2}\sigma_{2}p^{\nu}(\sigma_{1})p^{\mu}(\sigma_{2})G'(\sigma_{1},\sigma')G'(\sigma_{2},\sigma)\right\rbrace\exp\left(\frac{-1}{2}ppG'\right)$$ $$-\left.\frac{\delta}{\delta p_{\mu}(\sigma)}\frac{\delta}{\delta p_{\nu}(\sigma')}\left((2\pi)^{d}\delta^{d}(p_{0})\right)\exp \left(\frac{-1}{2}ppG'\right)\right]\vert_{p=0}$$

Итак, мне нужен следующий результат:

$$[..2..]=-\frac{\delta}{\delta p_{\mu}(\sigma)}\frac{\delta}{\delta p_{\nu}(\sigma')}\left[(2\pi)^{d}\delta^{d}(p_{0})\right]_{p=0}=-\frac{\delta}{\delta p_{\mu}(\sigma)}\frac{\delta}{\delta p_{\nu}(\sigma')}\left[\prod_{i=1}^{d}\int dx^{i}_{0}\exp\left(ix^{i}_{0}\int d^{2}\sigma p_{i}(\sigma)X_{0}(\sigma)\right)\right]_{p=0}$$

$$[..2..]=\left[\prod_{i=1,i\neq\nu\neq\mu}^{d}(2\pi)\delta(p_{i0})\int dx^{\nu}_{0}x^{\nu}_{0}X_{0}(\sigma')\exp\left(ix^{\nu}_{0}\int d^{2}\sigma_{1} p_{\nu}(\sigma_{1})X_{0}(\sigma_{1})\right)\times\right.$$ $$\int dx^{\mu}_{0}x^{\mu}_{0}X_{0}(\sigma)\exp\left(ix^{\mu}_{0}\int d^{2}\sigma_{1} p_{\mu}(\sigma_{1})X_{0}(\sigma_{1})\right)$$ $$+\left.\prod_{i=1,i\neq\nu=\mu}^{d}(2\pi)\delta(p_{i0})\int dx^{\mu}_{0}(x^{\mu}_{0})^{2}X_{0}(\sigma)X_{0}(\sigma')\exp\left(ix^{\mu}_{0}\int d^{2}\sigma_{1} p_{\mu}(\sigma_{1})X_{0}(\sigma_{1})\right)\right]$$ То есть, $\frac{1}{2\pi\alpha'}\nabla^{2}[..2..]=0$( $\nabla^{2}X_{0}=0$) , Я прав?.

Выяснение каждой операции:

$$\nabla^{2}[...]=\det\left(\frac{-\nabla^{2}}{4\pi^{2}\alpha'}\right)\exp \left(\frac{-1}{2}ppG'\right)\left[(2\pi)^{d}\delta^{d}(p_{0})\eta^{\mu\nu}\nabla^{2}G'(\sigma,\sigma')\right.$$ $$-\frac{\delta}{\delta p_{\nu}(\sigma')}((2\pi)^{d}\delta^{d}(p_{0}))\left\lbrace -\int d^{2}\sigma_{1}p^{\mu}(\sigma_{1})\nabla^{2}G'(\sigma_{1},\sigma \right\rbrace$$ $$\left.-(2\pi)^{d}\delta^{d}(p_{0})\left\lbrace\int d^{2}\sigma_{1}d^{2}\sigma_{2}p^{\nu}(\sigma_{1})p^{\mu}(\sigma_{2})G'(\sigma_{1},\sigma')\nabla^{2}G'(\sigma_{2},\sigma)\right\rbrace\right]\vert_{p=0}$$

В итоге я получил следующий результат:

$$-\frac{1}{2\pi\alpha'}\nabla^{2}G'(\sigma,\sigma')=g^{-1/2}\delta^{2}(\sigma-\sigma')$$ Итак, я предполагаю, что я сделал ошибку, но я понятия не имею, где. Правильное решение: $$-\frac{1}{2\pi\alpha'}\nabla^{2}G'(\sigma,\sigma')=g^{-1/2}\delta^{2}(\sigma-\sigma')-X_{0}^{2}$$

ПРИМЕЧАНИЕ 1. Я пытаюсь получить этот результат из-за того, что хотел бы найти какую-либо связь между$X_{0}$и$\frac{\alpha'}{2}\ln d^{2}(\sigma,\sigma')$. Насколько я понимаю, эта последняя сумма — это количество, которое позволяет мне перенормировать операторы и работать с OPE. Впервые я увидел эту сумму, когда пытался вычислить$\langle X^{\mu}(\sigma)X^{\nu}(\sigma')\rangle$и Полчински определил нормальный порядок.