Угловая скорость в центральном силовом поле

Для движения в центральном силовом поле рассмотрим вращающуюся систему отсчета, которая характеризуется углами Эйлера$\alpha$,$\beta$,$\gamma$связанный с поворотом системы декартовых координат, необходимой для выравнивания$z$оси лабораторной системы координат к угловому моменту частицы$\vec{l}$и$y$ось лабораторной рамы с$\vec{r}$вектор, определяющий мгновенное положение частицы относительно центра силы.

$$\dot{\gamma}=\frac{l}{mr^2}$$ и $\alpha$, $\beta$постоянны.

Скорость частицы (в сферической системе координат в лабораторной системе; я имею в виду$x=r\sin\theta\cos\phi$и так далее) есть

$$\vec{v}~=~v_r\vec{e}_r+v_\theta\vec{e}_\theta+v_\phi\vec{e}_\phi=~\dot{r}\vec{e}_r+r\dot{\theta}\vec{e}_\theta+r\sin\theta\dot{\phi}\vec{e}_\phi.$$ $$v_r=\sqrt{\frac{2}{m}\left(E-\frac{l^2}{2mr^2}\right)},$$ где $E$энергия частицы, $m$это масса и $l=|\vec{l}|$. я хочу выразить $v_\theta$и $v_\phi$в терминах переменных вращающейся системы отсчета.

я нашел это

$$x=-r(\cos\alpha\cos\beta\sin\gamma+\sin\alpha\cos\gamma),$$ $$y=r(-\sin\alpha\cos\beta\sin\gamma+\cos\alpha\cos\gamma),$$ $$z=r\sin\beta\sin\gamma.$$ Далее я заменяю его на $$\theta=\arctan\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z},$$ и $$\phi=\arctan\frac{y}{x}$$ и возьмем производную по $t$. Наконец, выражая $\sin\theta$с точки зрения новых переменных $$\sin^2\theta=\frac{x^2+y^2}{r^2}=\cos^2\beta\sin^2\gamma+\cos^2\gamma$$ я получил $$v_\theta~=~-r\frac{\sin\beta\cos\gamma}{\sqrt{\cos^2\beta\sin^2\gamma+\cos^2\gamma}}\dot{\gamma}$$ и $$v_\phi~=~\pm r\frac{\cos\beta}{\sqrt{\cos^2\beta\sin^2\gamma+cos^2\gamma}}\dot{\gamma},$$ ( $\pm$из-за $\sin\theta$).

Мой вопрос: не должно ли быть

$$\sqrt{v_\theta ^2 +v_\phi ^2}~=~r\dot{\gamma}?$$