Эквивалентность условий, связанных с угловым моментом катящегося шара, ударяющегося о стену

Предполагая, что это упругое столкновение, сразу после него вы получите мяч с таким же катящимся движением (против часовой стрелки), но перемещающийся в противоположном направлении в точке$v_0$. Теперь есть трение, потому что мяч «скользит», и новое равновесное движение будет, когда оба будут двигаться без скольжения снова в$v_k$. Дайте мне знать, если вы не знаете, как решить эту последнюю проблему. Короче говоря, эффект столкновения заключается только в изменении направления$v_0$. Трение между стенкой и мячом не должно иметь никакого эффекта (поскольку столкновение бесконечно мало).

ОБНОВЛЕНИЕ: я предполагаю, что мяч переворачивается$v_0$и трение начинается до тех пор, пока шарик не перестанет скользить. Таким образом, конечная угловая скорость будет$v_f/r$. У нас есть

$v_f=v_0-at_s=v_0-\mu gt_s$(1)

где$t_s$это время, необходимое для прекращения скольжения. Вы можете получить$t_s$от крутящего момента:

$\tau.t_s=\Delta L=\frac{2}{5} m r^2(\frac{v_f}{r}+\frac{v_0}{r})=\mu mgrt_s$(2)

отсюда вы получаете$t_s$и заменить в (1), чтобы получить:

$v_f=\frac{3}{7}v_0$

ОБНОВЛЕНИЕ 2: если мы примем объяснение, что мяч будет катиться до тех пор, пока не перестанет скользить, достигая$w_2$, то нам нужно изменить, в уравнении. (2), начальная угловая скорость в предыдущем решении от$\frac{v_0}{r}$к$\frac{2v_0}{7r}$.

В таком случае получаем:

$v_f=\frac{31}{49}v_0$

Хотя для @marmistrz уже немного поздно, я думаю, что этот вопрос заслуживает лучшего объяснения.

Чтобы объяснить, почему официальное решение является правильным, лучше всего сначала выяснить, как вычисляется угловой момент для твердого тела относительно точки, которая не является стационарной и отличной от центра масс.

В общем случае угловой момент относительно точки O, зафиксированной в инерциальном пространстве, можно выразить как:

$L^O = z_P \times m(v_P + \omega \times r_C) + r_C \times m v_P + J^P \cdot \omega \tag{1}$

где:

• P - точка, закрепленная на теле
• $z_P$Вектор положения P относительно точки O в инерциальной системе отсчета.
• $r_C$- положение центра масс, если смотреть из точки P
• $v_P$скорость точки P, если смотреть из инерциального пространства
• $\omega$угловая скорость рамы, закрепленной на теле, относительно инерциальной рамы
• $J^P$момент инерции относительно P

Примечание 1: я использую те же обозначения, что и в «Динамике систем твердых тел» стр. 35 Виттенбурга. Проверьте это, чтобы понять, откуда взялось приведенное выше уравнение.

Примечание 2: это отличается от обычного уравнения, используемого для выражения углового момента.$L = J^C \cdot \omega + r_C \times m v_C$так как это справедливо тогда и только тогда, когда импульс вычисляется относительно точки, которая зафиксирована как в инерциальном пространстве, так и в системе отсчета тела или совпадает с центром масс тела. Действительно, можно проверить, что (1) приводит к этому последнему уравнению, если P совпадает с центром масс C.

Чтобы сохранить угловой момент, мы выбираем точки O и P, обе совпадающие с точкой удара. Угловой момент здесь действительно сохраняется, поскольку удар предполагается мгновенным: в этой гипотезе следует учитывать только импульсивные силы, то есть горизонтальную реакцию стенки и силу трения о стенку (поскольку коэффициент трения бесконечно велик), а оба применяются на P:

$M^{ext}_P = 0$

$L^P = const$

Поскольку P совпадает с O, вектор положения$z_P = 0$. В этих условиях приведенная выше формула углового момента упрощается до:

$L^P = r_C \times m v_P + J^P \cdot \omega$

Момент инерции относительно P равен моменту инерции относительно центра масс плюс масса, умноженная на квадрат радиуса (теорема о параллельных осях):

$J^P = J^C + mr^2 = \frac{2}{5} mr^2 + mr^2 = \frac{7}{5} m r^2$

Перед ударом точка P движется вниз со скоростью$v_0/r$, т.е. в инерциальной системе отсчета$r \times v_P$направлен внутрь экрана. Угловая скорость тела ($\omega = v_0/r$) однако находится в противоположном направлении, поэтому, приняв положительное направление за выход из экрана, угловой момент до удара можно записать как:

$L_{before} = \frac{7}{5} m r^2 \frac{v_0}{r} - m r^2 \frac{v_0}{r}$

После удара точка P закреплена на стенке по условию прилипания, поэтому угловой момент равен:

$L_{after} = \frac{7}{5} m r^2 \frac{v_1}{r}$

Приравнивая два угловых момента:

$\frac{7}{5} m r^2 \frac{v_0}{r} - m r^2 \frac{v_0}{r} = \frac{7}{5} m r^2\frac{v_1}{r}$

$\frac{2}{5} v_0 = \frac{7}{5} v_1$

$v_1 = \frac{2}{7} v_0$

Что равно результату, указанному в решении.

Я считаю, что остальная часть решения достаточно ясна, и больше не нужно объяснять.

Хотя этот способ рассуждения может быть более запутанным, чем официальный ответ, мне трудно убедить себя в другом решении.

Надеюсь, это может помочь кому-то!