Принадлежит ли f(x)=1f(x)=1f(x) = 1 гильбертовому пространству бесконечно глубокой квадратной ямы?

Пусть квадрат находится на интервале ( 0 , π ) . Обычно постулируется, что волновая функция этой системы должна обращаться в нуль в конечных точках, т. е. г ( 0 ) "=" г ( π ) "=" 0 .

Функция ф ( Икс ) ≡ 1 не удовлетворяет этому условию. Но его можно разложить по собственным состояниям { грех ⁡ н Икс } ,

ф ( Икс ) "=" 4 π ( грех ⁡ Икс + 1 3 грех ⁡ 3 Икс + 1 5 грех ⁡ 5 Икс + … ) .

Следовательно, оно должно принадлежать гильбертовому пространству, натянутому на собственные состояния, верно?

С другой стороны, благодаря расширению это состояние имеет бесконечную энергию, что делает его похожим на недопустимое состояние.

Ответы (1)

Обычно гильбертово пространство для бесконечной квадратной ямы принимается как

л 2 ( [ 0 , π ] ) "=" { ф : [ 0 , π ] → С   |   | ф | 2  интегрируема по Лебегу,  ∫ 0 π | ф ( Икс ) | 2 г Икс < ∞ } ,
так что ответ да .

С другой стороны, ваша функция не удовлетворяет условиям, которые мы требуем от набора физических состояний в колодце, и не принадлежит области гамильтониана, оба из которых являются строгими подмножествами гильбертова пространства.

Неудобным является тот факт, что некоторые* конфигурации в КМ, включающие бесконечномерные гильбертовы пространства, порождают состояния, которые живут в гильбертовом пространстве задачи, но которые мы не хотим рассматривать как физические состояния. Это досадное следствие того факта, что нам нравится свойство замкнутости относительно бесконечных суперпозиций гильбертовых пространств, но условия, которые мы любим налагать на состояния, чтобы называть их «физическими», не замкнуты относительно этих бесконечных суперпозиций. Итак, вы знаете, угу. Но это то, что есть, и мы просто делаем все возможное, чтобы вещи были как можно лучше обозначены.

* На самом деле под «некоторыми» я подразумеваю все конфигурации в КМ, включающие бесконечномерные гильбертовы пространства. Такое поведение является общим и проявляется повсюду — примеры легко придумать.

Итак, какова область определения гамильтониана?
В принципе, набор всех функций ψ такой, что ЧАС ψ все еще в л 2 ( [ 0 , π ] ) . Тем не менее, если вас серьезно беспокоят эти вопросы, вам стоит посидеть с учебником по функциональному анализу.
«Это досадное следствие того факта, что нам нравится свойство замкнутости относительно бесконечных суперпозиций гильбертовых пространств, но условия, которые мы любим налагать на состояния, чтобы называть их «физическими», не замкнуты относительно этих бесконечных суперпозиций». Может быть, у вас есть ссылка или две для дальнейшего чтения в этом? И вы имеете в виду постулат об эрмитовых наблюдаемых, когда заявляете «условия, которые мы хотели бы наложить на состояния, чтобы называть их «физическими»»? Или вы имеете в виду нормализацию? Я ценю ваше понимание этих запросов.
@N.Steinle спросите их отдельно.
Принадлежит ли f(x)=1f(x)=1f(x) = 1 гильбертовому пространству бесконечно глубокой квадратной ямы?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v