Тензор энергии-импульса электромагнитного поля с источниками

Для внешнего источника$j^\mu$, мы могли бы определить тензор энергии-импульса обычным калибровочно-инвариантным способом как

$$T^{\mu\nu}(x)\sim \frac{1}{\sqrt{|g|}}\,\frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}(x)} \tag{1}$$ используя действие $$S\sim\int d^4x\ \sqrt{|g|} \left(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} +A_\mu j^\mu \right).$$ с общим метрическим полем$g_{\mu\nu}$. (Я не беспокоюсь о коэффициентах здесь, потому что эти детали не важны для вопроса.) Чтобы сохранить калибровочно-инвариантность действия, внешний источник должен удовлетворять $$\partial_\mu \, \sqrt{|g|}\, j^\mu=0. \tag{2}$$ Если ток обусловлен другим динамическим полем, а не навязан извне, то мы можем использовать тот же подход, включив это другое динамическое поле в действие. Например, мы могли бы рассмотреть систему с лагранжианом $$L\sim F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+ (D_\mu\phi)^*(D^\mu\phi),$$ где$\phi$является скалярным полем и$D_\mu\sim\partial_\mu+iA_\mu$. Затем мы можем снова использовать уравнение (1) для получения тензора энергии-импульса, который теперь будет зависеть от обоих полей$A_\mu$и$\phi$. Это тензор энергии-импульса, который принадлежит обычному уравнению поля Эйнштейна.$R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R\sim T_{\mu\nu}$, и сохраняется в том смысле, что$\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0$. Чтобы связать скалярное поле$\phi$к текущему$j^\mu$, мы можем написать уравнение движения для калибровочного поля$A_\mu$как $$\frac{\delta S}{\delta A_\mu}=0,$$ который можно записать в виде $$\partial_\mu F^{\mu\nu}\sim j^\nu$$ (в простейшем случае плоской метрики). Это определяет текущий$j^\nu$в терминах скалярного поля$\phi$.

Мы могли бы также определить тензор энергии-импульса, апеллируя к теореме Нётер, но тогда нам остается еще один шаг — выяснить, как сделать его калибровочно-инвариантным, не нарушая его сохранения. Я использовал здесь метрическое определение, потому что оно автоматически становится калибровочно-инвариантным — до тех пор, пока внешний ток, если он есть, удовлетворяет уравнению (2).

---

Приложение

В описанном выше подходе использовалась произвольная (переменная) метрика. Это необходимо для того, чтобы определить вариацию действия по отношению к метрике. После того, как вариация вычислена, мы можем установить любую метрику, какую захотим, например, метрику Минковского.

Но какое обоснование этому? Если нас интересует только версия с плоским пространством-временем, то зачем нам временно учитывать произвольные метрики?

Обычные мотивы для рассмотрения тензора энергии-импульса: (1) он сохраняется ($\nabla_a T^{ab}=0$), и (2) это проявляется в уравнении поля Эйнштейна. Если мы не занимаемся общей теорией относительности, то мотив № 2 неприменим, но мотив № 1 по-прежнему применим. Мы можем думать, что модель плоского пространства — это всего лишь один член семейства моделей с разными фоновыми метриками, и весь этот набор моделей инвариантен относительно диффеоморфизмов, даже если отдельные модели (каждая с определенной метрикой) таковыми не являются. Эта «коллективная» версия инвариантности диффеоморфизма достаточна для вывода закона сохранения$\nabla_a T^{ab}=0$, если мы начнем с действия, которое (в совокупности) инвариантно относительно диффеоморфизмов. Этот закон сохранения выполняется с любой фоновой метрикой, включая плоское пространство-время. Общность этого результата оправдывает размышления о$T^{ab}$как что-то, что «имеет» каждая модель, точно так же, как общность теоремы Нётер оправдывает представление об этих сохраняющихся величинах как о вещах, которые «имеет» каждая модель (если присутствует достаточная симметрия).

Но тогда почему$T^{ab}$мы получаем из метрического рецепта, согласующегося с$T^{ab}$мы получаем из теоремы Нётер в плоском пространстве-времени? Терем Нётер кажется не связанным с рецептом изменения метрики. У меня пока нет ясного понимания этой связи, но, возможно, она связана с тем, что когда мы используем теорему Нётер для определения$T^{ab}$как сохраняющаяся величина, связанная с симметриями плоского пространства-времени, мы по-прежнему полагаемся на математическую симметрию — не на полную группу диффеоморфизмов, а на ее часть. Я хотел бы понять эту связь более ясно.