Принцип релятивистской неопределенности: положение и собственное время или импульс?

Все зависит от того, какую систему вы описываете.

Система первого квантования

Например, можно квантовать следующее (первое квантованное) действие для релятивистской точечной частицы:

$$S[X] = -m c \int d{\lambda} \sqrt{g_{\mu \nu} \dot{X}^{\mu} \dot{X}^{\nu}},$$

где$\dot{X}$означает$dX/d\lambda$и$\lambda$— некоторый произвольный нефизический параметр, используемый для обозначения точек мировой линии действительными числами.

Когда вы квантуете эту систему, ваше кинематическое (неограниченное) гильбертово пространство$\mathcal{K}$есть пространство быстро убывающих пространственно-временных функций:

$$\Psi(t,\mathbf{r}) \in \mathcal{K}.$$

Как и в нерелятивистском случае, соотношения неопределенностей читаются

$$\Delta{x} \Delta{p} \le \frac{\hbar}{2},$$

но есть и другое отношение

$$\Delta{t} \Delta{E} \le \frac{c \hbar}{2}$$

с которым мы сталкивались ранее как с соотношением неопределенности время-энергия, только в этом описании оно является первоклассным гражданином.

Однако картина затемняется наличием ограничений. Физическое гильбертово пространство$\mathcal{H}$задается теми элементами$\mathcal{K}$которые являются решениями уравнения Клейна-Гордона. (точнее, по элементам$\mathcal{K}^{*}$которые исчезают при оценке решений уравнения Клейна-Гордона).

Система вторичного квантования

Или вы можете сразу перейти к квантовой теории поля и изучить лагранжиан Клейна-Гордона как лагранжиан для квантового поля. Тогда у вас будут волновые функционалы

$$\Psi[\phi(\mathbf{r})]$$

как состояния, и соотношение неопределенностей читается

$$\Delta \phi \Delta \pi \le \frac{h}{2}$$

с$\pi(\mathbf{r})$канонические импульсы для$\phi(\mathbf{r})$.

Это описание считается более фундаментальным. Из этого следуют соотношения неопределенностей положение-импульс и время-энергия для элементарных частиц, если рассматривать флуктуации вакуумного состояния поля (состояния элементарных частиц).