Каково значение действия?

Единственная реальная физическая интерпретация этой величины находится в квантовой механике. Это фаза вклада пути, идущего от$t_1$к$t_2$вдоль пути$x(t)$. Тогда эти два термина относительно ясны, если возвести их в степень, чтобы сделать фазу, а время — решеткой:

$$e^{i \int_{t_1}^{t_2} (T - V)} = \prod_{t_1<t<t_2} e^{i {m(x(t+\epsilon)-x(t))^2\over 2\epsilon}}e^{-i \epsilon V(x(t))}$$

Где продукт над всеми t's между$t_1$и$t_2$в$\epsilon$шаги размера.

Первый член дает вам фазу свободного распространения частиц из$x(t)$к$x(t+\epsilon)$. Второй член дает дополнительное фазовое вращение для потенциальной энергии в положении$x(t)$. Две фазы складываются, и вы добавляете фазы по всем путям, чтобы получить полное квантовое распространение.

Тогда классический путь — это место, где фаза является стационарной, так что пути имеют тенденцию складываться вместе с одной и той же фазой, а не сокращаться из-за интерференции. Это место, где изменение пути первого порядка не приводит к изменению действия.

Чтобы найти это, вы можете сдвинуть$x(t)$к$x(t)+\delta x(t)$, и найти старшую вариацию

$$e^S \int_t ( m \dot{x} {d\over dt}(\delta x) - V'(x) \delta x) dt$$

Интегрируя первый член по частям, находим

$$m\ddot{x} = - V'(x)$$

или что частица подчиняется закону Ньютона. Тот же вывод работает в формализме интеграла по путям для демонстрации теоремы Эренфеста и уравнения движения Гейзенберга. Это связано с тем, что интеграл по путям инвариантен относительно сдвигов переменной интегрирования$x(t)$на постоянную сумму$\delta x(t)$, даже если эта константа время от времени отличается.

Количество

$$S= \int_{t_1}^{t_2} (T -V) dt$$ называют классическим действием. Существует физический закон (называемый «принципом наименьшего действия»), который гласит, что истинный путь, по которому движется объект, это тот, который минимизирует $S$.

Убедитесь, что это правда. Я брошу мяч прямо вверх. Когда мяч покидает мою руку, его кинетическая энергия$T$высока, а так как природа предпочитает минимизировать интеграл$S$, потенциальная энергия шара$V$быстро растет, чтобы минимизировать подынтегральную функцию$T-V$. Таким образом, принцип наименьшего действия объясняет, почему мячи поднимаются вверх, когда вы их бросаете.

Так почему бы бейсбольным мячам не взлететь в стратосферу, чтобы сделать$T-V$как можно меньше? Для этого им потребуется много кинетической энергии! Настолько, что это перевешивало бы дополнительный негативный вклад от$-V$. Оказывается, истинный путь находится где-то между подъемом вверх и быстрым движением, что мы и наблюдаем. (Мячи замедляются, когда они поднимаются.)

Помимо этого качественного аргумента можно использовать вариационное исчисление , чтобы вывести законы Ньютона из принципа наименьшего действия.