Доказательство независимости лагранжиана от положения свободной частицы с помощью уравнения Эйлера-Лагранжа

Я задавал аналогичный вопрос некоторое время назад, но пытаюсь работать с этим с другой стороны.

При выводе лагранжиана свободной частицы мы используем однородность пространства, чтобы заключить, что лагранжиан не зависит от ее вектора положения$\vec{x}$. Под однородностью пространства я понимаю, что если сместить начальное положение частицы на вектор$\vec{c}$, то все точки на траектории частицы смещаются на один и тот же вектор$\vec{c}$. Глядя на уравнение Лагранжа Эйлера, рассматривая случай с одной степенью свободы:

Если$x_1(t)$является решением уравнения ЭЛ, соответствующим начальному условию$x(t_1)=X_1$,

$$\frac{\partial L(x_1(t),\dot{x}_1(t),t)}{\partial x} - \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \frac{\partial L(x_1(t),\dot{x}_1(t),t)}{\partial \dot{x}}=0 \tag{1}$$ и $x_1(t) + c$также является решением уравнения ЭЛ, соответствующего начальному условию $x(t_1)=X_1 + c$, где $c$бесконечно малое перемещение, $$\frac{\partial L(x_1(t)+c,\dot{x}_1(t),t)}{\partial x} - \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \frac{\partial L(x_1(t)+c,\dot{x}_1(t),t)}{\partial \dot{x}}=0 \tag{2}$$ тогда я хотел бы доказать, что $$\frac{\partial L(x,\dot{x},t)}{\partial x}=0 \tag{3}$$

До сих пор я пытался расширить$L(x_1(t)+c,\dot{x}_1(t),t)$как сериал Тейлора по силам$c$. С$c$очень мало, линейные члены в$c$доминировать. Затем я могу сократить уравнение.$(2)$к:

$$[L_{xx}-L_{xx\dot{x}}\,\dot{x} - L_{x\dot{x}\dot{x}}\,\ddot{x} - L_{x\dot{x}t}]\,c=0\tag{4}$$

Я не уверен, как я могу двигаться дальше.

Если я смогу доказать, что$\frac{\partial L(x,\dot{x},t)}{\partial x}=0$для бесконечно малого перемещения я могу представить себе бесконечность таких последовательных перемещений$\vec{c}$, изготовление$\frac{\partial L(x,\dot{x},t)}{\partial x}=0$справедливо для конечных перемещений.