Что такое множители Лагранжа относительно голономных ограничений в классической механике?

Question

Что такое множители Лагранжа относительно голономных ограничений в классической механике?

действие
Физика
классическая механика
ограниченная динамика
лагранжев формализм
вариационный принцип

Квантовый шепот

Чтобы было просто и ясно, если у меня есть голономное ограничение, которое я хочу обработать с помощью множителя Лагранжа, в любом учебнике, которого я касаюсь, они просто выражаются как " $\lambda$ " (опуская возможные аргументы). Я хотел бы знать, является ли множитель Лагранжа чем-то вроде " $\lambda(t)$ ", это было бы $\lambda$ быть дополнительной степенью свободы, временная зависимость которой пока неизвестна. Или, напротив, является ли множитель Лагранжа расширением (пока еще точно не определенным) функции Лагранжа, и как таковое « $\lambda(q, \dot{q}, t)$ "?

Здесь я расширю свои мысли о том, почему я думаю, что обе версии работают: начиная с " $\lambda(q, \dot{q}, t)$ ", Полный лагранжиан Системы будет

л "=" л (д, \dot{д}, т) - λ (д, \dot{д}, т) ф (д, т)

$\mathcal L = L(q, \dot{q},t) - \lambda(q, \dot{q},t) f(q,t)$ Варианты путей

δ q

$\delta q$ и требование, чтобы

f (q (t), t) = 0

$f(q(t),t)=0$ выполняется, даст правильный EOM:

\frac{г}{г т} \frac{\partial л}{\partial \dot{д}} (д (т), \dot{д} (т), т) - \frac{\partial л}{\partial д} (д (т), \dot{д} (т), т) "=" \frac{г}{г т} \frac{\partial λ}{\partial \dot{д}} (д (т), \dot{д} (т), т) - \frac{\partial λ}{\partial д} (д (т), \dot{д} (т), т)) ф (д (т), т) + \frac{\partial λ}{\partial \dot{д}} (д (т), \dot{д} (т), т) \frac{г}{г т} ф (д (т), т) + λ (д (т), \dot{д} (т), т) \frac{\partial ф}{\partial д}

$\frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{q}} (q(t),\dot{q}(t),t) - \frac{\partial \mathcal L}{\partial q} (q(t),\dot{q}(t),t) = \\ \frac{d}{dt} \frac{\partial \lambda }{\partial \dot{q}} (q(t),\dot{q}(t),t) - \frac{\partial \lambda}{\partial q} (q(t),\dot{q}(t),t))f(q(t), t) + \frac{\partial \lambda}{\partial \dot{q}}(q(t),\dot{q}(t),t) \frac{d}{dt}f(q(t),t) + \lambda(q(t), \dot{q}(t), t) \frac{\partial f}{\partial q}$

Применяя ограничения, $f = 0$ и $\frac{d}{dt} f = 0$ , то получаем:

\frac{г}{г т} \frac{\partial л}{\partial \dot{д}} (д (т), \dot{д} (т), т) - \frac{\partial л}{\partial д} (д (т), \dot{д} (т), т) "=" + λ (д (т), \dot{д} (т), т) \frac{\partial ф}{\partial д}

$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} (q(t),\dot{q}(t),t) - \frac{\partial L}{\partial q} (q(t),\dot{q}(t),t) = + \lambda(q(t), \dot{q}(t), t) \frac{\partial f}{\partial q}$ И

ф (д (т), т) "=" 0

$f(q(t), t) = 0$ которые являются просто уравнениями, описывающими движение системы.

В качестве альтернативы (как сказано) я могу рассматривать множители как дополнительные степени свободы в конфигурационном пространстве. Полный лагранжиан, зависящий от $q$ , $\dot{q}$ , $\lambda$ , $\dot{\lambda}$ (эта зависимость приведена здесь только для полноты, полный лагранжиан не будет зависеть от $\dot{\lambda}$ ), и т, составляет:

л (д, \dot{д}, т) - λ (т) ф (д, т)

$L(q, \dot{q},t) - \lambda(t) f(q,t)$ Уравнения Лагранжа тогда будут:

\frac{г}{г т} \frac{\partial л}{\partial \dot{д}} (д (т), \dot{д} (т), т) - \frac{\partial л}{\partial д} (д (т), \dot{д} (т), т) "=" λ (т) \frac{\partial ф}{\partial д} (д (т), т)

$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}(q(t), \dot{q}(t),t) - \frac{\partial L}{\partial q} (q(t), \dot{q}(t), t) = \lambda(t) \frac{\partial f}{\partial q}(q(t), t)$ И

ф (д (т), т) "=" 0

$f(q(t), t) = 0$

Оба метода, хотя и используют разные предположения, дают одни и те же уравнения движения. Какой из них более осуществим? Бывают ли случаи, когда мои рассуждения не работают в пользу одного из двух приведенных мной вариантов?

Ответы (2)

Что такое множители Лагранжа относительно голономных ограничений в классической механике?

Диракология · Answer 1

Вы заметили, что может быть двойственное описание лагранжевых систем при голономных ограничениях.

Рассмотрим лагранжевую систему с $n$ переменные и $m$ голономные ограничения. Множители Лагранжа на самом деле можно рассматривать просто как неопределенные функции, выбранные так, что

\frac{г}{г т} \frac{\partial л}{\partial {\dot{д}}_{я}} - \frac{\partial л}{\partial д_{я}} - \sum_{а} λ_{а} \frac{\partial ф_{а}}{\partial д_{я}} "=" 0,

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}-\frac{\partial L}{\partial q_i}-\sum_a\lambda_a\frac{\partial f_a}{\partial q_i}=0,$ для

m

$m$ принадлежащий

q_{i}

$q_i$ . Остальные

n - m

$n-m$ переменные могут варьироваться независимо, и задача имеет

n - m

$n-m$ степени свободы.

С другой стороны, множители Лагранжа также можно рассматривать как новые независимые переменные. $\lambda_a(t)$ . Учитывая лагранжиан $L(q,\dot q,t)$ и $m$ голономные ограничения $f_a(q,t)=0$ то мы можем сформулировать двойственную задачу, состоящую из двойственного лагранжиана без ограничений

\begin{matrix} (1) & \tilde{л} (д, \dot{д}, λ, т) "=" л (д, \dot{д}, т) + \sum_{а} λ_{а} (т) ф_{а} (д, т) . \end{matrix}

$\tilde L(q,\dot q,\lambda,t)=L(q,\dot q,t)+\sum_a \lambda_a(t)f_a(q,t).\tag 1$ Множители Лагранжа

λ_{a} (t)

$\lambda_a(t)$ затем считаются новыми независимыми переменными в вариационной задаче с

n + m

$n+m$ степени свободы. Вариация по отношению к

q_{i}

$q_i$ дает динамические уравнения,

\frac{г}{г т} \frac{\partial л}{\partial {\dot{д}}_{я}} - \frac{\partial л}{\partial д_{я}} "=" \sum_{а} λ_{а} \frac{\partial ф_{а}}{\partial д_{я}},

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}-\frac{\partial L}{\partial q_i}=\sum_a\lambda_a\frac{\partial f_a}{\partial q_i},$ в то время как вариация относительно

λ_{a}

$\lambda_a$ дать уравнения связи,

ф_{а} (д, т) "=" 0.

$f_a(q,t)=0.$

Обратите внимание, что это двойственное описание не выполняется для неголономных связей, поскольку мы не можем записать двойственный лагранжиан, такой как (1), из-за отсутствия уравнений связи вида $f_a=0$

То есть, в принципе, вы говорите, что пока одна из версий возможна, она не имеет преимущества перед другой?
Они полностью эквивалентны даже с практической точки зрения. Я просто предпочитаю второй, потому что легче запомнить процедуру. Он также может быть немного более элегантным.

Qмеханик · Answer 2

Условно подсчет идет следующим образом: Множителей Лагранжа столько же, $\lambda_i(t)$ так как есть ограничения $f^i(t)\approx 0$ . Поскольку ограничение $f^i(t)\approx 0$ должен быть удовлетворен в каждое мгновение $t$ , есть один множитель Лагранжа $\lambda_i(t)$ за каждое мгновение $t$ . Эквивалентно: множители Лагранжа $\lambda_i(t)$ зависит от времени $t$ .

Что такое множители Лагранжа относительно голономных ограничений в классической механике?

Квантовый шепот

Ответы (2)

Диракология

Квантовый шепот

Диракология

Qмеханик

Применение множителей Лагранжа в принципе действия

Действительно ли обобщенные координаты в лагранжевой механике независимы?

Путаница с виртуальными смещениями

Вывод уравнений Эйлера-Лагранжа из принципов Гамильтона и Даламбера

Почему общее действие должно иметь экстремум?

Почему формула стационарного действия выражается как кинетическая минус потенциальная энергия, а не потенциальная минус кинетическая энергия?

Каково значение действия?

Доказательство независимости лагранжиана от положения свободной частицы с помощью уравнения Эйлера-Лагранжа

Должны ли быть физически возможны различные пути в действии?

Путаница в отношении принципа наименьшего действия в «Классической теории поля» Ландау и Лифшица.