Орбитальные уравнения движения относительно энергии

Рассмотрим уравнения движения тела по орбите вокруг центрального тела. Мы используем инерциальную систему отсчета, начинающуюся в центре масс центрального тела:

$$\frac{d\mathbf{r}}{dt} = \mathbf{V} \tag{1}$$ $$\frac{d\mathbf{V}}{dt} = -\frac{\mu}{r^3}\mathbf{r} + \mathbf{A}_\text{ext} \tag{2}$$ где $\mathbf{r}$- вектор положения объекта, $\mathbf{V}$это скорость, $\mu$- гравитационный параметр центрального тела и $\mathbf{A}_\text{ext}$являются ускорениями, вызванными некоторыми другими источниками (например, тягой двигателей, сопротивлением и т. д.).

Меня интересует указание их относительно удельной орбитальной энергии$\epsilon$. Для этого мне нужно знать$\dfrac{d\epsilon}{dt}$

я знаю это

$$\epsilon = \frac{V^2}{2}-\frac{\mu}{r} \tag{3}$$ Итак, дифференцирование: $$\frac{d\epsilon}{dt} = V\dfrac{dV}{dt}+\dfrac{\mu}{r^2}\dfrac{dr}{dt} \tag{4}$$

Если умножить уравнение (2) на$\dfrac{d\mathbf{r}}{dt}$, мы получаем:

$$\dfrac{d\mathbf{r}}{dt} \cdot \frac{d\mathbf{V}}{dt} = - \dfrac{d\mathbf{r}}{dt} \cdot \frac{\mu}{r^3}\mathbf{r} + \dfrac{d\mathbf{r}}{dt} \cdot \mathbf{A}_\text{ext} \tag{5}$$

Переставляя его,

$$\mathbf{V} \cdot \frac{d\mathbf{V}}{dt} + \dfrac{d\mathbf{r}}{dt} \cdot \frac{\mu}{r^3}\mathbf{r} = \mathbf{V} \cdot \mathbf{A}_\text{ext} \tag{6}$$

Я застрял здесь.$\epsilon$является скейлером, как и его производная. Однако оказывается, что левая часть уравнения 6 является векторной формой уравнения 4.

Не могли бы вы помочь мне продолжить? Если бы у меня было вышеперечисленное, то я мог бы сформулировать уравнения движения. Или, если вы уже знаете уравнения движения относительно энергии, это было бы здорово!

В статье Википедии об удельной орбитальной энергии говорится, что$\dfrac{d\epsilon}{dt} = \mathbf{V}\cdot \mathbf{A}_\text{ext}$но не дает никаких ссылок/шагов.

https://en.wikipedia.org/wiki/Specific_orbital_energy#Applying_thrust