Спиновые операторы в QM

Математически операторы орбитального углового момента и операторы спинового углового момента на самом деле являются двумя сторонами одной медали. На теоретико-групповом языке мы говорим, что эти операторы возникают из двух различных представлений группы вращений$SO(3)$(точнее, в квантовой механике нас интересуют проективные представления , потому что физически два вектора, отличающиеся фазой, неразличимы. Это требует представления двойного покрытия$SO(3)$, который$SU(2)$). Группа кодирует информацию о симметрии системы, и представление группы в конкретном пространстве дает нам способ реализовать эти симметрии как операторы в нашем пространстве состояний.

Разница между операторами спина и операторами углового момента на самом деле заключается в том, с каким типом векторного пространства они работают. Однако с группой связана определенная структура, которая проявляется в ее представлениях (это связано со структурой алгебры Ли$SO(3)$,$\mathfrak{so}(3) \cong \mathfrak{su}(2)$о чем я могу рассказать позже, если хотите). Следовательно, любое представление группы$SO(3)$будут иметь те же коммутационные соотношения. Это включает в себя расширения для нескольких состояний частиц. Если мы обозначим гильбертово пространство одной частицы как$\mathcal{H}_1$и пространство секунды как$\mathcal{H}_2$, то полное пространство, описывающее две частицы вместе, обозначается$\mathcal{H}_1 \otimes \mathcal{H}_2$. Это не что иное, как новое векторное пространство, которое мы можем представить$SO(3)$на!

Таким образом, когда мы хотим говорить о спине системы из двух частиц, мы просто говорим о другом представлении$SO(3)$. В этой процедуре есть некоторые тонкости, связанные с тем, что представление на пространстве$\mathcal{H}_1 \otimes \mathcal{H}_2$не является неприводимым . Однако разложение Клебша-Гордона дает нам способ разложить это представление на сумму приводимых представлений. Эта процедура дает коэффициенты Клебша-Гордона, которые возникают, когда речь идет о системах с несколькими частицами.

Связь двух невзаимодействующих квантовых систем$\:\alpha,\beta\:$с угловыми моментами$\:j_{\alpha},j_{\beta}\:$(независимо от того, орбитальный или спиновой) мы приходим к следующему уравнению для углового момента$\:j\:$составной системы$\:f\:$

$$\begin{equation} J_{\boldsymbol{n}}=\bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{n}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\bigr)+ \left(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{n}}\right) \tag{A-01} \end{equation}$$ который, для$\:\mathbf{n}\:$-компоненты, чтобы быть более понятным, могут быть выражены как

$$\begin{equation} \mathbf{n}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{J}=\Bigl[\bigl(\mathbf{n}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{J}^{\boldsymbol{\alpha}} \bigr) \boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}+ \mathbb{I}_{\boldsymbol{\alpha}} \boldsymbol{\otimes} \bigl(\mathbf{n}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{J}^{\boldsymbol{\beta}} \bigr)\Bigr] \tag{A-02} \end{equation}$$ В приведенных выше уравнениях символ$''\boldsymbol{\otimes}''$используется для произведения векторов состояния, пространств или операторов. Вектор$\:\mathbf{n}=\left(n_{1},n_{2},n_{3}\right) \:$имеет единичную норму. Операторы$\:\mathbf{J}^{\boldsymbol{\alpha}},\, J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{n}},\,\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}}\:$действовать на$(2j_{\alpha}+1)$-мерное гильбертово пространство$\: \mathsf{H}_{\alpha}\:$системы$\:\alpha\:$и на том же основании операторы$\:J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{n}},\,\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\:$действовать на$(2j_{\beta}+1)$-мерное гильбертово пространство$\: \mathsf{H}_{\beta}\:$системы$\:\beta\:$, символ$\:\mathbb{I}\:$используется для идентификации. Наконец, операторы$\:\mathbf{J},\, J_{\boldsymbol{n}}\:$действовать на$(2j_{\alpha}+1)\cdot (2j_{\beta}+1)$-мерное гильбертово пространство$\: \mathsf{H}_{f}=\mathsf{H}_{\alpha}\boldsymbol{\otimes}\mathsf{H}_{\beta}\:$составной системы$\:f\:$.

Запишем уравнение (A-02) для трех осей системы координат

$$\begin{align} J_{\boldsymbol{1}}=\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{1}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr)+ \left(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{1}}\right) \tag{A-03a}\\ J_{\boldsymbol{2}}=\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{2}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr)+ \left(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{2}}\right) \tag{A-03b}\\ J_{\boldsymbol{3}}=\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{3}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr)+ \left(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}\right) \tag{A-03c} \end{align}$$ Эти три уравнения компонентов могут быть выражены символически в одном векторном уравнении $$\begin{equation} \mathbf{J}=\bigl(\mathbf{J}^{\boldsymbol{\alpha}} \boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\bigr)+\left(\mathbb{I}_{\boldsymbol{\alpha}} \boldsymbol{\otimes} \mathbf{J}^{\boldsymbol{\beta}} \right) \tag{A-04} \end{equation}$$ Теперь мы должны проверить, является ли эта построенная таким образом величина$\:\mathbf{J}=\left({J}_{1},{J}_{2},{J}_{3}\right) \:$составной системы является согласованным угловым моментом, а критерием этого является справедливость уравнения $$\begin{equation} \mathbf{J}\boldsymbol{\times}\mathbf{J}= i \, \mathbf{J} \tag{A-05} \end{equation}$$ или по компонентам $$\begin{align} J_{\boldsymbol{1}}J_{\boldsymbol{2}}-J_{\boldsymbol{2}}J_{\boldsymbol{1}}= i \, J_{\boldsymbol{3}} \tag{A-06a}\\ J_{\boldsymbol{2}}J_{\boldsymbol{3}}-J_{\boldsymbol{3}}J_{\boldsymbol{2}}= i \, J_{\boldsymbol{1}} \tag{A-06b}\\ J_{\boldsymbol{3}}J_{\boldsymbol{1}}-J_{\boldsymbol{1}}J_{\boldsymbol{3}}= i \, J_{\boldsymbol{2}} \tag{A-06c} \end{align}$$ Чтобы доказать уравнения (A-06), найдем общее выражение для$\:J_{\boldsymbol{n}}J_{\boldsymbol{k}}\:$, где$\:J_{\boldsymbol{n}},\,J_{\boldsymbol{k}}\:$компоненты$\:\mathbf{J}\:$параллельно единичным векторам$\:\mathbf{n}\:$и$\:\mathbf{k}\:$соответственно. Из уравнения (A-01) и следующего правила умножения $$\begin{equation} \left(\mathrm{A}_{2} \boldsymbol{\otimes} \mathrm{B}_{2}\right)\left(\mathrm{A}_{1} \boldsymbol{\otimes} \mathrm{B}_{1}\right)= \left( \mathrm{A}_{2}\mathrm{A}_{1}\right) \boldsymbol{\otimes} \left( \mathrm{B}_{2}\mathrm{B}_{1}\right) \tag{A-07} \end{equation}$$ у нас есть $$\begin{align} J_{\boldsymbol{n}}J_{\boldsymbol{k}} & = \Bigl[\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{n}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr)+ \Bigl(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{n}}\Bigr)\Bigr] \left[\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{k}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr)+ \left(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{k}}\right)\right] \nonumber\\ & =\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{n}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr)\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{k}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr)+\Bigl(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{n}}\Bigr)\left(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{k}}\right) \nonumber\\ & + \Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{n}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr)\left(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{k}}\right) +\Bigl(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{n}}\Bigr)\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{k}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr) \tag{A-08} \end{align}$$ так $$\begin{equation} J_{\boldsymbol{n}}J_{\boldsymbol{k}} = \Bigl[\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{n}}J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{k}}\Bigr)\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr]+\Bigl[\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}}\boldsymbol{\otimes}\Bigl( J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{n}}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{k}}\Bigr)\Bigr] +\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{n}}\boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{k}}\Bigr) +\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{k}}\boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{n}}\Bigr) \tag{A-09} \end{equation}$$ Перестановка$\:n\:$и$\:k\:$урожаи $$\begin{equation} J_{\boldsymbol{k}}J_{\boldsymbol{n}} = \Bigl[\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{k}}J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{n}}\Bigr)\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr]+\Bigl[\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}}\boldsymbol{\otimes}\Bigl( J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{k}}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{n}}\Bigr)\Bigr] +\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{k}}\boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{n}}\Bigr) +\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{n}}\boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{k}}\Bigr) \tag{A-10} \end{equation}$$ Вычитание (A-10) из (A-09)

$$\begin{equation} J_{\boldsymbol{n}}J_{\boldsymbol{k}}-J_{\boldsymbol{k}}J_{\boldsymbol{n}}= \Bigl[\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{n}}J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{k}}-J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{k}}J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{n}}\Bigr)\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr]+\Bigl[\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}}\boldsymbol{\otimes}\Bigl(J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{n}}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{k}}- J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{k}}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{n}}\Bigr)\Bigr] \tag{A-11} \end{equation}$$ Для$\:n=1\:$и$\:k=2\:$приведенное выше уравнение (A-11) дает $$\begin{align} J_{\boldsymbol{1}}J_{\boldsymbol{2}}-J_{\boldsymbol{2}}J_{\boldsymbol{1}} & = \Bigl[\overbrace{\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{1}}J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{2}}-J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{2}}J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{1}}\Bigr)}^{i \,J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{3}} }\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr]+\Bigl[\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}}\boldsymbol{\otimes} \overbrace{\Bigl(J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{1}}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{2}}- J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{2}}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{1}}\Bigr)}^{i \,J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}}\Bigr] \nonumber\\ & = \Bigl[\Bigl(i \,J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{3}}\Bigr)\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol{\beta}}\Bigr] +\Bigl[\mathbb{I}_{\boldsymbol{\alpha}}\boldsymbol{\otimes}\Bigl(i\,J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}\Bigr)\Bigr] \nonumber\\ & = i\,\Bigl[\Bigl(J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{3}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol{\beta}}\Bigr) +\Bigl(\mathbb{I}_{\boldsymbol{\alpha}}\boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}\Bigr)\Bigr] \nonumber\\ & = i \, J_{\boldsymbol{3}} \tag{A-12} \end{align}$$ так доказывая (A-06a). Циклической перестановкой также доказаны (A-06b) и (A-06c).

Для обработки углового момента мы используем уравнение (A-03c), повторенное здесь для удобства:

$$\begin{equation} J_{\boldsymbol{3}}=\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{3}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr)+ \left(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}\right) \tag{A-03c} \end{equation}$$ Это соотношение имеет то преимущество, что если матрицы, представляющие компоненты$\:J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{3}}\:$и$\:J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}\:$компонентных систем являются диагональными, то матрица, представляющая компонент$\:J_{\boldsymbol{3}}\:$составной системы тоже диагональна ⁽¹⁾ . Но для полного рассмотрения углового момента нам нужна матрица, представляющая величину$\:\mathbf{J}^{\boldsymbol{2}}=J^{\boldsymbol{2}}_{\boldsymbol{1}}+J^{\boldsymbol{2}}_{\boldsymbol{2}}+J^{\boldsymbol{2}}_{\boldsymbol{3}}\:$также. Мы найдем выражение$\:\mathbf{J}^{\boldsymbol{2}}\:$удобен для определения его матрицы, которая изначально не является диагональной, а$\:J_{\boldsymbol{3}}\:$делает. Итак, подставив в уравнение (A-09) пару значений$\:(n,k)=(1,1)\:$,$\:(n,k)=(2,2)\:$и$\:(n,k)=(3,3)\:$у нас соответственно

$$\begin{align} J_{\boldsymbol{1}}^{\boldsymbol{2}} = \Bigl[\bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{1}}\bigr)^{\boldsymbol{2}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr]+\Bigl[\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}}\boldsymbol{\otimes}\bigl( J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{1}}\bigr)^{\boldsymbol{2}}\Bigr] +2\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{1}}\boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{1}}\Bigr) \tag{A-13a}\\ J_{\boldsymbol{2}}^{\boldsymbol{2}} = \Bigl[\bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{2}}\bigr)^{\boldsymbol{2}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr]+\Bigl[\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}}\boldsymbol{\otimes}\bigl( J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{2}}\bigr)^{\boldsymbol{2}}\Bigr] +2\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{2}}\boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{2}}\Bigr) \tag{A-13b}\\ J_{\boldsymbol{3}}^{\boldsymbol{2}} = \Bigl[\bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{3}}\bigr)^{\boldsymbol{2}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr]+\Bigl[\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}}\boldsymbol{\otimes}\bigl( J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}\bigr)^{\boldsymbol{2}}\Bigr] +2\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{3}}\boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}\Bigr) \tag{A-13c} \end{align}$$ Имея в виду, что $$\begin{align} \bigl(\mathbf{J}^{\boldsymbol{\alpha}}\bigr)^{\boldsymbol{2}} & =\bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{1}}\bigr)^{\boldsymbol{2}} +\bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{2}}\bigr)^{\boldsymbol{2}}+\bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{3}}\bigr)^{\boldsymbol{2}} = j_{\alpha}(j_{\alpha}+1)\mathbb{I}_{\alpha} \tag{A-14}\\ \bigl( \mathbf{J}^{\boldsymbol{\beta}}\bigr)^{\boldsymbol{2}} &=\bigl( J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{1}}\bigr)^{\boldsymbol{2}} +\bigl( J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{2}}\bigr)^{\boldsymbol{2}}+\bigl( J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}\bigr)^{\boldsymbol{2}} = j_{\beta}(j_{\beta}+1) \mathbb{I}_{\beta} \tag{A-15}\\ \mathbb{I}_{\alpha} \boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\beta} & \equiv \mathbb{I}_{f}=\text{identity in } \mathsf{H}_{f}=\mathsf{H}_{\alpha}\boldsymbol{\otimes}\mathsf{H}_{\beta} \tag{A-16} \end{align}$$ сложение уравнений (A-13) дает $$\begin{equation} \mathbf{J}^{\boldsymbol{2}} =\bigl[ j_{\alpha}(j_{\alpha}+1)+ j_{\beta}(j_{\beta}+1) \bigr] \mathbb{I}_{f} +2\sum_{q=1}^{q=3}\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{q}}\boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{q}}\Bigr) \tag{A-17} \end{equation}$$

---

^{(1) Точнее: из определения произведения операторов и учитывая, что$\:J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{3}}\:$представлен$(2j_{\alpha}+1)$-квадратная матрица}

$$\begin{equation} J^{\alpha}_{3} = \begin{bmatrix} j_{\alpha} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & j_{\alpha}-1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & m_{\alpha} & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & -j_{\alpha} \end{bmatrix} \tag{foot-01} \end{equation}$$ и$\:J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}\:$представлен$(2j_{\beta}+1)$-квадратная матрица $$\begin{equation} J^{\beta}_{3} = \begin{bmatrix} j_{\beta} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & j_{\beta}-1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & m_{\beta} & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & -j_{\beta} \end{bmatrix} \tag{foot-02} \end{equation}$$ уравнение (A-03c) дает, что$\:J_{\boldsymbol{3}}\:$представлен следующим$(2j_{\alpha}+1)\cdot (2j_{\beta}+1)$-квадратная диагональная матрица $$\begin{equation} J_{\boldsymbol{3}}=\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{3}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr)+ \left(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}\right)= \nonumber\\ \end{equation}$$ $$\begin{equation} \begin{bmatrix} \begin{matrix} j_{\alpha}+ j_{\beta} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & j_{\alpha}+ j_{\beta}-1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & j_{\alpha} -j_{\beta} \end{matrix} & & & \\ & \begin{matrix} j_{\alpha}-1+ j_{\beta} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & j_{\alpha}-1+ j_{\beta}-1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & j_{\alpha}-1-j_{\beta} \end{matrix} & & \\ & &\ddots & \\ & & & -j_{\alpha}-j_{\beta} \end{bmatrix} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \tag{foot-03} \end{equation}$$ Пример: для$\:j_{\alpha}=\tfrac{1}{2}\:$и$\:j_{\beta}=1\:$ $$\begin{equation} J^{\alpha}_{3} = \begin{bmatrix} \begin{array}{cc} +\frac{1}{2}&0\\ &\\ 0&-\frac{1}{2} \end{array} \end{bmatrix} \:,\qquad J^{\beta}_{3} = \begin{bmatrix} \begin{array}{ccc} +1&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&-1 \end{array} \end{bmatrix} \tag{foot-04} \end{equation}$$
так $$\begin{equation} \Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{3}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr)= \begin{bmatrix} \begin{array}{cc} +\frac{1}{2}\cdot\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}&0\cdot\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\\ &\\ 0\cdot\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}&-\frac{1}{2}\cdot\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}} \end{array} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \begin{array}{cccccc} +\frac{1}{2}&0&0&0&0&0\\ 0&+\frac{1}{2}&0&0&0&0\\ 0&0&+\frac{1}{2}&0&0&0\\ 0&0&0&-\frac{1}{2}&0&0\\ 0&0&0&0&-\frac{1}{2}&0\\ 0&0&0&0&0&-\frac{1}{2} \end{array} \end{bmatrix} \tag{foot-05} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \left(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}\right)= \begin{bmatrix} \begin{array}{cc} 1\cdot J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}&0\cdot J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}\\ &\\ 0\cdot J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}&1\cdot J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}} \end{array} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \begin{array}{cccccc} +1&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0\\ 0&0&-1&0&0&0\\ 0&0&0&+1&0&0\\ 0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&-1 \end{array} \end{bmatrix} \tag{foot-06} \end{equation}$$ Добавляя (фут-05), (фут-06) имеем $$\begin{equation} J_{\boldsymbol{3}} =\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{3}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr)+ \left(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}\right)= \begin{bmatrix} \begin{array}{cccccc} +\frac{3}{2}&0&0&0&0&0\\ 0&+\frac{1}{2}&0&0&0&0\\ 0&0&-\frac{1}{2}&0&0&0\\ 0&0&0&+\frac{1}{2}&0&0\\ 0&0&0&0&-\frac{1}{2}&0\\ 0&0&0&0&0&-\frac{3}{2} \end{array} \end{bmatrix} \tag{foot-07} \end{equation}$$
который после перестановки строк и столбцов становится $$\begin{equation} \widehat{J}_{\boldsymbol{3}} = \begin{bmatrix} \begin{array}{cccccc} +\frac{3}{2}&0&0&0&0&0\\ 0&+\frac{1}{2}&0&0&0&0\\ 0&0&-\frac{1}{2}&0&0&0\\ 0&0&0&-\frac{3}{2}&0&0\\ 0&0&0&0&+\frac{1}{2}&0\\ 0&0&0&0&0&-\frac{1}{2} \end{array} \end{bmatrix} \tag{foot-08} \end{equation}$$ признается впоследствии как прямая сумма$\:j_{1}=\tfrac{1}{2}\:$и$\:j_{2}=\tfrac{3}{2}\:$ $$\begin{equation} \boldsymbol{2}\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{3}=\boldsymbol{2}\boldsymbol{\oplus}\boldsymbol{4} \tag{foot-09} \end{equation}$$ частный случай более общего выражения пространства-произведения в виде прямой суммы взаимно ортогональных и инвариантных относительно SU(2) подпространств $$\begin{equation} (2j_{\alpha}+1)\boldsymbol{\otimes}(2j_{\beta}+1)=\bigoplus_{j=\vert j_{\beta}-j_{\alpha} \vert }^{j=\left(j_{\alpha}+j_{\beta}\right)}(2j+1) \tag{foot-10} \end{equation}$$

---

Для более подробного рассмотрения см. мои ответы здесь: Суммарный спин двух частиц со спином 1/2 .

И орбитальный угловой момент, и спин связаны с вращением в трех измерениях . Их коммутационные соотношения могут быть получены только из свойств группы вращений, поэтому они должны быть равны.

Группа вращений трехмерного пространства известна как$SO(3)$. Квантовые состояния — это векторы в пространстве$V$над которым эта группа имеет (проективное) представление. Это означает, что для каждого оборота$R$Eсть$n\times n$матрица$U(R)$($n$размер$V$), так что каждое квантовое состояние$\left|\psi\right>$изменения в$U(R)\left|\psi\right>$при вращении системы$R$.

Возможно, вы знаете, что вращение в двух измерениях (комплексная плоскость) дается умножением на$e^{-i\theta}$, где$\theta$единственный параметр, характеризующий поворот двумерного пространства: угол поворота. В трех измерениях поворот можно параметризовать углом$\theta$и единичный вектор$\hat{u}$с указанием оси вращения. Это эквивалентно просто вектору$\vec{u}=\theta\hat{u}$. Действуя так же, как и в двух измерениях, вращение можно записать как

$$\begin{equation} U(\vec{u})=e^{-i\vec{u}\cdot \vec{J}} \end{equation}$$ где теперь нам нужно три объекта $J_x$, $J_y$и $J_z$(компоненты $\vec{J}$), один для умножения каждого компонента $\vec{u}$. Они должны быть $n\times n$матрицы, сделать $U(R)$также является такой матрицей (экспонента матриц может быть определена ее степенным рядом).

Обратите внимание, что производная вращения трехмерного вектора ортогональна оси вращения и самому вектору и пропорциональна вектору, поэтому она должна быть$\hat{u}\times \vec{v}$. Ты можешь представить$\vec{v}$как точка на сфере с радиусом$|\vec{v}|$, и$\hat{u}\times \vec{v}$как стрелка, начинающаяся в этой точке и указывающая в направлении, в котором она движется при вращении.

С другой стороны$\frac{d}{d\theta}U(\theta\hat{u})= -i\hat{u}\cdot\vec{J}$, поэтому, записывая векторы трехмерного представления как$\vec{v}$вместо$\left|\psi\right>$у нас есть уравнение$\hat{u}\times \vec{v}=(-i\hat{u}\cdot\vec{J})v$. Теперь мы хотим вычислить коммутатор$[J_x,J_y]$:

$$\begin{align} [J_x,J_y]\vec{v}=J_xJ_y\vec{v}-J_yJ_x\vec{v}= -\hat{x}\times(\hat{y}\times\vec{v}) + \hat{y}\times(\hat{x}\times\vec{v}) = -(\hat{x}\times\hat{y})\times\vec{v} = -\hat{z}\times\vec{v} = iJ_z\vec{v} \end{align}$$ где я использовал свойства тройного перекрестного произведения. Мы только что получили одно из коммутационных соотношений: $[J_x,J_y]=iJ_z$. Остальные следуют в том же порядке.

Спиновые операторы$S_x$,$S_y$,$S_z$и операторы орбитального углового момента$L_x$,$L_y$,$L_z$оба просто генераторы$J_x$,$J_y$,$J_z$трехмерных вращений.

Единственная разница между ними состоит в том, что спин имени (и обозначение$S_i$) относится к представлениям под$SO(3)$для состояний одиночной частицы без движения в пространстве «внутренние» вращения, тогда как название орбитального углового момента (и символы$L_i$) обычно используется для представлений под$SO(3)$состояний систем, имеющих некоторую протяженность или некоторое перемещение в пространстве.

Комбинация представлений вращений снова является представлением вращений, поэтому она по-прежнему будет иметь те же образующие с теми же коммутационными соотношениями. Это верно для любой комбинации, такой как комбинированные спины электрона и протона, комбинация орбитального углового момента и спина частицы или угловых моментов для многочастичных систем.

Вы правы насчет вывода с помощью лестничных операторов. Вы можете использовать известный вам подход в каждом случае, потому что он выводится из коммутационных соотношений.

Операторы спина имеют те же коммутационные соотношения, что и операторы углового момента. Точная причина немного тонкая. Понятие спина и углового момента связано со свойствами волновых функций при вращении. На самом деле операторы углового момента можно определить как генераторы вращений.

Вращения в трехмерном пространстве образуют$SO(3)$группа. Чтобы иметь возможность говорить о вращениях квантового состояния, мы должны иметь возможность действовать с$SO(3)$на нем так, чтобы структура группы сохранялась (гомоморфизм групп). Теперь, поскольку состояния являются векторами в гильбертовом пространстве, мы действительно просим представление группы$SO(3)$на гильбертовом пространстве. Различные способы действия вращений на гильбертово пространство соответствуют различным представлениям$SO(3)$группа. Из теории Ли мы знаем, что нахождение представления$SO(3)$сводится к поиску представлений для алгебры Ли$\mathfrak{so}(3)$. Эта алгебра Ли содержит инфинитезимальные генераторы преобразований в$SO(3)$группа.

Здесь возникает тонкость. Сейчас мы рассматриваем различные способы преобразования квантового состояния (вектора гильбертова пространства) при вращении, но на самом деле физика содержится в квадратах амплитуд состояний. Это действительно то количество, которое мы хотим знать, как действовать с вращениями. По сути, это означает, что мы ищем проективные (или с точностью до фазы) представления$SO(3)$. Так получилось, что это именно те представления для$SU(2)$. Бывает и так, что алгебра Ли$\mathfrak{su}(2)$группы$SU(2)$изоморфен$\mathfrak{so}(3)$. Вот почему во многих учебниках просто строятся представления для алгебры Ли, и спин появляется волшебным образом. Настоящая причина в том, что мы действительно ищем проективные представления$SO(3)$который включает спиновые представления. По этой же причине спин появляется и в нерелятивистской КМ, поскольку группа галилеевой инвариантности включает группу вращения. Спин не является релятивистским явлением!

В любом случае, поскольку эти две группы имеют одну и ту же алгебру Ли, коммутационные соотношения для их бесконечно малых генераторов будут одинаковыми, что позволит сделать то, что сделано в вашем учебнике.

Что касается вашего второго вопроса, он немного сложен. Поскольку гильбертово пространство для составных систем задается тензорным произведением обоих подпространств, теперь нам нужно рассмотреть тензорное произведение представлений. Само по себе это не представление, и в любом случае не должно действовать на это пространство спиновым оператором. Однако мы хотим, чтобы составная система также была проективным представлением группы вращений$SO(3)$. То, о чем мы действительно просим, ​​это то, что$\mathfrak{su}(2)$можно превратить в биалгебру. Поскольку это, естественно, биалгебра, существует операция (на самом деле гомоморфизм), называемая копроизведением,$\Delta$, который отображает:

$\Delta:\mathfrak{su}(2) \longrightarrow \mathfrak{su}(2)\otimes\mathfrak{su}(2),$

позволяя нам рассматривать тензорные произведения представлений как представление. Поскольку это отображение является гомоморфизмом, оно сохраняет алгебраическую структуру и, следовательно, коммутационные соотношения. Именно в этом заключается причина единственности коммутационных соотношений для любых спиновых операторов и, следовательно, возникновения одних и тех же уравнений на собственные значения. Подход с использованием лестничных операторов опирается только на алгебраическую структуру спиновых операторов и, как таковой, в равной степени действителен при использовании для составных систем.

Причина, по которой мы применяем операторы к одному и отдельно к другому элементу, не является просто определением или физической интуицией. Потому что это побочное произведение действует на примитивные элементы и раскручено, т.е.$\forall X \in \mathfrak{su}(2)$:

$\Delta(X)=X\otimes 1 + 1 \otimes X,$

ведущий к вашему$S = S_1 + S_2$. Между этой формой копроизведения и статистикой рассматриваемых частиц существует глубокая связь. Вышеупомянутая простая форма связана с симметрией относительно перестановок идентичных частиц. В измерениях 3+1 каждая составная система может быть описана в терминах бозонов и фермионов, подчиняясь двум стандартным статистикам. Таким образом, в большинстве случаев мы ожидаем эту форму для побочного продукта. Однако в замкнутых системах в 2-х или 1+1 измерениях возможны более экзотические статистики. В этих экзотических случаях копроизведение не всегда имеет такую ​​форму (например, анионы, парабозоны/парафермионы), и полагаться только на интуицию можно, рассматривая сложные системы.

Интересно последнее замечание относительно другого базиса составного спинового пространства. Действительно, базис композиционного пространства$H_1\otimes H_2$теперь может быть задано либо заданием собственных векторов на обоих подпространствах тензорного произведения (это было бы равнозначно заданию спина каждой частицы в составной системе), либо, рассматривая целое как представление, заданием полных собственных векторов (это соответствует заданию полного спин составной системы). Матричный элемент между этими двумя базисами называется коэффициентами Клебша-Гордана и часто используется при работе с составными системами.

Вы читаете Гриффитса, так что я постараюсь придерживаться его словарного запаса, но чтобы ответить на ваш вопрос, мне, возможно, придется ввести некоторый формализм, которого нет у Гриффита.

В общем, это история. Математически мы строим$N$система частиц невзаимодействующих частиц, но принимающая прямое произведение каждого гильбертова пространства$\mathcal{H}_i$как$i$идет от 1 до$N$(одно гильбертово пространство для каждой частицы). Каждое из этих пространств совершенно независимо друг от друга и удовлетворяет известному коммутационному соотношению.

$$\begin{align} [S_{k}^{(i)},S_{l}^{(j)}]=i\hbar\epsilon_{klm}\delta_{ij} \end{align}$$ где $i$умножение $\hbar$является мнимой единицей. Короче говоря, каждая частица имеет свое собственное гильбертово пространство, каждое из которых удовлетворяет обычным коммутационным соотношениям углового момента и определенным лестничным операторам.