Проблема собственных значений спина и собственных векторов. Это правильный способ решить эту проблему?

Электрон описывается гамильтонианом

$H=\frac{e}{mc}\bar{S}\cdot\bar{B}$

где$\bar{S} =(S_x,S_y,S_z)$является спиновым оператором и$\bar{B}$магнитное поле.

Для$t>0$ $\bar{B}=B_0\hat{x}$и для$t=0$электрон находится в состоянии$|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt3}|+\rangle+\frac{\sqrt2}{\sqrt3}|-\rangle$, с$|+\rangle$и$|-\rangle$собственные векторы оператора$S_z$(с собственными значениями$\pm \frac{\hbar}{2}$).

Я хочу определить временную эволюцию состояния.

С$B$находится вдоль x, то скалярное произведение дает мне$S_xB_0$и я знаю, что оператор$S_x$представляется матрицей$\frac{\hbar}{2}\bigl(\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)$.

Для удобства$\frac{e\hbar B_0}{2mc}=\epsilon$.

Теперь, избегая всех вычислений (надеясь, что я сделал их правильно), я нашел собственные значения и собственные векторы моего оператора, задав уравнение:

$H(\alpha|+\rangle+\beta|-\rangle)=E(\alpha|+\rangle+\beta|-\rangle)$

Из которых собственные значения$\epsilon$и$-\epsilon$, и соответствующие собственные векторы (определяющие связь между$\alpha$и$\beta$и нормализующие):

$|\psi_1\rangle=\frac{1}{\sqrt2}|+\rangle+\frac{1}{\sqrt2}|-\rangle$

$|\psi_2\rangle=\frac{1}{\sqrt2}|+\rangle-\frac{1}{\sqrt2}|-\rangle$

Теперь мне нужно выразить состояние$|\psi\rangle$как комбинация двух собственных векторов:

$|\psi\rangle=\frac{\sqrt2+2}{2\sqrt3}|\psi_1\rangle+\frac{\sqrt2-2}{2\sqrt3}|\psi_2\rangle$

А временная эволюция такова:

$|\psi(t)\rangle=\frac{\sqrt2+2}{2\sqrt3}|\psi_1\rangle \exp[{-i\frac{\epsilon}{\hbar}t}]+\frac{\sqrt2-2}{2\sqrt3}|\psi_2\rangle \exp[{i\frac{\epsilon}{\hbar}t}]$

Вот как я решил проблему, но, поскольку я новичок в квантовой механике, я хотел бы высказать несколько мнений.

Это разумная процедура? Совершил ли я какие-то ужасные ошибки или бессмысленные соображения?