Как найти собственное значение (я) для состояний оператора совместного спина?

Question

Как найти собственное значение (я) для состояний оператора совместного спина?

ПОЖАР

Я начал изучать спиновые операторы и находить их собственные значения. У меня есть следующий вопрос, который будет разделен на две части ( первая часть необходима для решения второй части ). Я могу решить первую часть, которая показана ниже:

Операторы одночастичных спинов определяются следующим образом (без учета множителей $\hbar$ для ясности):

${\hat{с}}_{г} | ↑ ⟩ "=" \frac{1}{2} | ↑ ⟩, {\hat{с}}_{г} | ↓ ⟩ "=" - \frac{1}{2} | ↓ ⟩$ $\hat s_z |\uparrow\,\rangle=\frac12|\uparrow\,\rangle\, ,\quad \hat s_z |\downarrow\,\rangle=-\frac12|\downarrow\,\rangle$ ${\hat{с}}_{+} | ↑ ⟩ "=" 0, {\hat{с}}_{+} | ↓ ⟩ "=" | ↑ ⟩$ $\hat s_+ |\uparrow\,\rangle=0\, ,\quad \hat s_+ |\downarrow\,\rangle=|\uparrow\,\rangle$ ${\hat{с}}_{-} | ↑ ⟩ "=" | ↓ ⟩, {\hat{с}}_{-} | ↓ ⟩ "=" 0$ $\hat s_- |\uparrow\,\rangle=|\downarrow\,\rangle\, ,\quad \hat s_- |\downarrow\,\rangle=0$ Использование этих операторов и тот факт, что $\hat s^2$ можно определить как ${\hat{с}}_{г}^{2} + \frac{1}{2} ({\hat{с}}_{-} {\hat{с}}_{+} + {\hat{с}}_{+} {\hat{с}}_{-})$ $\hat s_z^2+\frac12\left(\hat s_-\hat s_++\,\,\hat s_+\hat s_-\right)$ Покажи то $\hat s^2$ имеет собственное значение $\frac34$ для обоих $|\uparrow\,\rangle$ и $|\downarrow\,\rangle$ .

Начиная с $|\uparrow\,\rangle$ государство я нахожу, что

{\hat{с}}_{г}^{2} | ↑ ⟩ "=" {\hat{с}}_{г} {\hat{с}}_{г} | ↑ ⟩ "=" \frac{1}{2} {\hat{с}}_{г} | ↑ ⟩ "=" \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} | ↑ ⟩ "=" \frac{1}{4} | ↑ ⟩

$\hat s_z^2|\uparrow\,\rangle=\hat s_z\hat s_z |\uparrow\,\rangle=\frac12\hat s_z|\uparrow\,\rangle=\frac12\cdot\frac12|\uparrow\,\rangle=\color{blue}{\frac14|\uparrow\,\rangle}$

{\hat{с}}_{-} {\hat{с}}_{+} | ↑ ⟩ "=" {\hat{с}}_{-} (0) "=" 0

$\hat s_-\hat s_+|\uparrow\,\rangle=\hat s_-(0)=\color{blue}{0}$

{\hat{с}}_{+} {\hat{с}}_{-} | ↑ ⟩ "=" {\hat{с}}_{+} | ↓ ⟩ "=" | ↑ ⟩

$\hat s_+\hat s_-|\uparrow\,\rangle=\hat s_+|\downarrow\,\rangle=\color{blue}{|\uparrow\,\rangle}$

Теперь заменяем синие части на

\begin{aligned} {\hat{с}}^{2} | ↑ ⟩ & "=" {\hat{с}}_{г}^{2} | ↑ ⟩ + \frac{1}{2} ({\hat{с}}_{-} {\hat{с}}_{+} + {\hat{с}}_{+} {\hat{с}}_{-}) | ↑ ⟩ \\ "=" {\hat{с}}_{г}^{2} | ↑ ⟩ + \frac{1}{2} {\hat{с}}_{-} {\hat{с}}_{+} | ↑ ⟩ + \frac{1}{2} {\hat{с}}_{+} {\hat{с}}_{-} | ↑ ⟩ \\ "=" \frac{1}{4} | ↑ ⟩ + \frac{1}{2} (0) + \frac{1}{2} | ↑ ⟩ \\ "=" \frac{3}{4} | ↑ ⟩ \end{aligned}

$\begin{align}\hat s^2|\uparrow\,\rangle&=\hat s_z^2|\uparrow\,\rangle+\frac12\left(\hat s_-\hat s_++\,\,\hat s_+\hat s_-\right)|\uparrow\,\rangle\\&=\hat s_z^2|\uparrow\,\rangle+\frac12\hat s_-\hat s_+|\uparrow\,\rangle+\frac12\hat s_+\hat s_-|\uparrow\,\rangle\\&=\frac14|\uparrow\,\rangle+\frac12(0)+\frac12|\uparrow\,\rangle\\&=\frac34|\uparrow\,\rangle\end{align}$ как требуется.

Для $|\downarrow\,\rangle$ государство я нахожу, что

{\hat{с}}_{г}^{2} | ↓ ⟩ "=" {\hat{с}}_{г} {\hat{с}}_{г} | ↓ ⟩ "=" - \frac{1}{2} {\hat{с}}_{г} | ↓ ⟩ "=" - \frac{1}{2} \cdot - \frac{1}{2} | ↓ ⟩ "=" \frac{1}{4} | ↓ ⟩

$\hat s_z^2|\downarrow\,\rangle=\hat s_z\hat s_z |\downarrow\,\rangle=-\frac12\hat s_z|\downarrow\,\rangle=-\frac12\cdot-\frac12|\downarrow\,\rangle=\color{red}{\frac14|\downarrow\,\rangle}$

{\hat{с}}_{-} {\hat{с}}_{+} | ↓ ⟩ "=" {\hat{с}}_{-} | ↑ ⟩ "=" | ↓ ⟩

$\hat s_-\hat s_+|\downarrow\,\rangle=\hat s_-|\uparrow\,\rangle=\color{red}{|\downarrow\,\rangle}$

{\hat{с}}_{+} {\hat{с}}_{-} | ↓ ⟩ "=" {\hat{с}}_{+} (0) "=" 0

$\hat s_+\hat s_-|\downarrow\,\rangle=\hat s_+(0)=\color{red}{0}$

Теперь заменяем красные части на

\begin{aligned} {\hat{с}}^{2} | ↓ ⟩ & "=" {\hat{с}}_{г}^{2} | ↓ ⟩ + \frac{1}{2} {\hat{с}}_{-} {\hat{с}}_{+} | ↓ ⟩ + \frac{1}{2} {\hat{с}}_{+} {\hat{с}}_{-} | ↓ ⟩ \\ "=" \frac{1}{4} | ↓ ⟩ + \frac{1}{2} | ↓ ⟩ + \frac{1}{2} (0) \\ "=" \frac{3}{4} | ↓ ⟩ \end{aligned}

$\begin{align}\hat s^2|\downarrow\,\rangle&=\hat s_z^2|\downarrow\,\rangle+\frac12\hat s_-\hat s_+|\downarrow\,\rangle+\frac12\hat s_+\hat s_- |\downarrow\,\rangle\\&=\frac14|\downarrow\,\rangle+\frac12|\downarrow\,\rangle+\frac12(0)\\&=\frac34|\downarrow\,\rangle\end{align}$ как требуется.

Вот вторая часть вопроса (которую я не могу решить):

Теперь рассмотрим операторы совместного состояния двух электронов, например $|\uparrow\uparrow\,\rangle$ , где первая стрелка указывает состояние спина 1, а вторая — спина 2. Определим оператор полного спинового углового момента системы $\hat S=\hat s_1 +\hat s_2$ так что мы видим, что $\hat S^2=\hat s_1^2+\hat s_2^2+2\hat s_1\cdot\hat s_2$ . Определим также оператор полной проекции спина на $z$ -ось; $\fbox{$\hat S_z=\hat s_{z_{\large {1}}}+\hat s_{z_{\large {2}}}$}$ . По аналогии с выражением для $\hat s^2$ мы можем показать, что
${\hat{с}}_{1} \cdot {\hat{с}}_{2} "=" {\hat{с}}_{г_{1}} {\hat{с}}_{г_{2}} + \frac{1}{2} ({\hat{с}}_{1_{-}} {\hat{с}}_{2_{+}} + {\hat{с}}_{1_{+}} {\hat{с}}_{2_{-}})$ $\hat s_1\cdot\hat s_2=\hat s_{z_{\large {1}}}\hat s_{z_{\large {2}}}+\frac12\left(\hat s_{1_{\large {-}}}\hat s_{2_{\large {+}}}+\hat s_{1_{\large {+}}}\hat s_{2_{\large {-}}}\right)$ Используя эти соотношения, покажите, что два состояния $|\uparrow\uparrow\,\rangle$ и $|\downarrow\downarrow\,\rangle$ как есть $S=1$ и найти собственные значения, которые они имеют для $\hat S_z$

Я начну с попытки найти собственные значения для $\hat S_z$ для государства $|\uparrow\uparrow\,\rangle$ используя формулу в рамке в приведенной выше цитате:

\begin{aligned} {\hat{С}}_{г} | ↑↑ ⟩ & "=" ({\hat{с}}_{г_{1}} + {\hat{с}}_{г_{2}}) | ↑↑ ⟩ \\ "=" {\hat{с}}_{г_{1}} | ↑↑ ⟩ + {\hat{с}}_{г_{2}} | ↑↑ ⟩ \end{aligned}

$\begin{align}\hat S_z|\uparrow\uparrow\,\rangle&=\left(\hat s_{z_{\large {1}}}+\hat s_{z_{\large {2}}}\right)|\uparrow\uparrow\,\rangle\\&=\hat s_{z_{\large {1}}}|\uparrow\uparrow\,\rangle+\hat s_{z_{\large {2}}}|\uparrow\uparrow\,\rangle\end{align}$

Теперь я полностью застрял, так как мне не дается связь между оператором $\hat s_{z_{\large {1}}}$ и его собственное значение (как я был в первой части вопроса). Другими словами $\hat s_{z_{\large {1}}}|\uparrow\uparrow\,\rangle=\mathrm{?}$

Ответ просто гласит, что:

Используя данные определения,
$\begin{matrix} (А) & {\hat{С}}_{г} | ↑↑ ⟩ "=" (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) | ↑↑ ⟩ "=" | ↑↑ ⟩ \end{matrix}$ $\hat S_z|\uparrow\uparrow\,\rangle=\left(\frac12 +\frac12\right)|\uparrow\uparrow\,\rangle=|\uparrow\uparrow\,\rangle\tag{A}$ давая собственное значение $M_S=1$ для $|\uparrow\uparrow\,\rangle$ .

Этот ответ ничем не поможет, поскольку я просто понятия не имею, как $(\mathrm{A})$ был получен. Поскольку я новичок в этом, вы, вероятно, заметили, что я склонен записывать все шаги в расчете (в моем ответе на первую часть вопроса).

Может ли кто-нибудь показать/объяснить промежуточные шаги в достижении $(\mathrm{A})$ аналогично (если возможно) тому, что я делал в первой части?

Ответы (1)

Как найти собственное значение (я) для состояний оператора совместного спина?

ной · Answer 1

Я думаю, что часть, которую вы упускаете, это то, что $\hat{s}_{z_1}$ действует только на первый спин и имеет те же свойства, как если бы второго спина не было, т.е.

{\hat{с}}_{г_{1}} | ↑ с_{2} ⟩ "=" \frac{1}{2} | ↑ с_{2} ⟩

$\hat{s}_{z_1} |\uparrow s_2\rangle = \frac{1}{2} |\uparrow s_2\rangle$ и

{\hat{с}}_{г_{1}} | ↓ с_{2} ⟩ "=" - \frac{1}{2} | ↓ с_{2} ⟩

$\hat{s}_{z_1} |\downarrow s_2\rangle = -\frac{1}{2} |\downarrow s_2\rangle$ с

s_{2}

$s_2$ быть либо

↑

$\uparrow$ или

↓

$\downarrow$ . Аналогичные свойства справедливы для

{\hat{s}}_{z_{2}}

$\hat{s}_{z_2}$ . С этим, я надеюсь, вы сможете решить проблему.

Чтобы было еще понятнее, вот что на самом деле скрывается за приведенными обозначениями. Состояние, подобное $|s_1 s_2\rangle$ на самом деле означает тензорное произведение $s_1$ с $s_2$ .

| с_{1} с_{2} ⟩ "=" | с_{1} ⟩ \otimes | с_{2} ⟩

$|s_1 s_2\rangle := |s_1\rangle \otimes |s_2\rangle$ Операторы, ранее действовавшие только в одном из пространств, например

{\hat{s}}_{z_{1}}

$\hat{s}_{z_1}$ и

{\hat{s}}_{z_{2}}

$\hat{s}_{z_2}$ передаются в это тензорное пространство путем тензорирования их единичным оператором, например:

{\hat{с}}_{г_{1}} \otimes я и я \otimes {\hat{с}}_{г_{2}}

$\hat{s}_{z_1} \otimes \mathbb{I} \qquad \text{and} \qquad \mathbb{I} \otimes \hat{s}_{z_2}$ Левый оператор действует на первое состояние тензорного произведения, второй оператор — на правое состояние. Затем вы получаете такие вещи, как

({\hat{с}}_{г_{1}} \otimes я) (| с_{1} ⟩ \otimes | с_{2} ⟩) "=" ({\hat{с}}_{г_{1}} | с_{1} ⟩) \otimes (я | с_{2} ⟩)

$(\hat{s}_{z_1} \otimes \mathbb{I}) (|s_1\rangle \otimes |s_2\rangle)\\ = (\hat{s}_{z_1}|s_1\rangle) \otimes (\mathbb{I}|s_2\rangle)$ который является тензорным произведением вещей, которые мы уже знаем (из первой части вопроса). Мы определяем операторы в тензорном пространстве так, чтобы придать им именно это свойство действовать только на одно из состояний, которое аргументируется тем, что такое измерения. Если мы измерим только первый спин, мы оставим второй без изменений. То, что дано в вашем примере, является просто сокращенной записью используемой здесь тензорной записи.

Спасибо за ответ, вы упомянули, что " $\hat{s}_{z_1}$ действует только на первый спин и обладает такими же свойствами, как если бы второго спина не было». Откуда вы это знаете ?
Немного расширил, надеюсь теперь станет понятнее.
Если вы можете просто принять первую часть моего ответа как данность, то есть что операторы действуют только на соответствующие им спины (поскольку реальный фон слишком продвинут), вы в основном там с попыткой, которую вы дали в своем вопросе. Вам нужно только подать заявку $\hat{s}_{z_n} |\uparrow \uparrow \rangle$ указанным способом.

Как найти собственное значение (я) для состояний оператора совместного спина?

ПОЖАР

Ответы (1)

ной

ПОЖАР

ной

ной

Собственные значения системы из двух частиц в связанном и несвязанном базисе

Проблема собственных значений спина и собственных векторов. Это правильный способ решить эту проблему?

Собственные значения гамильтониана для системы с тремя взаимодействующими спиновыми степенями свободы со спином 1/2

Матричное представление углового момента

Какое отношение имеет четность к определению углового момента?

Собственные значения, эрмитовы операторы и наблюдаемые в квантовой механике

Гамильтониан гармонического осциллятора со спиновым членом

Как получить векторное соотношение для частоты Раби?

Спин в магнитном поле и собственные значения

Есть ли простой способ найти собственные состояния оператора рождения и уничтожения в QM?