Собственные значения гамильтониана для системы с тремя взаимодействующими спиновыми степенями свободы со спином 1/2

У меня есть три взаимодействующие частицы со спином 1/2, и я хочу найти собственные значения энергии H. Гамильтониан для системы ЧАС "=" Дж ℏ 2 ( С 1 ⋅ С 2 + С 2 ⋅ С 3 + С 3 ⋅ С 1 ) (где J положителен и имеет единицы энергии) и С т о т "=" С 1 + С 2 + С 3 и С т о т 2 "=" С т о т ⋅ С т о т . Я выразил гамильтониан с помощью С т о т 2 как

ЧАС "=" Дж 2 ℏ 2 ( С т о т 2 − С 1 2 − С 2 2 − С 3 2 ) То, с чем я борюсь, это использование этого нового гамильтониана, например ЧАС | ↑↓↓ ⟩ и все другие комбинации спинов. Мне удалось это сделать с первым выражением для гамильтониана, но не с новым.

И С 1 "=" С ⊗ я ⊗ я , С 2 "=" я ⊗ С ⊗ я , С 3 "=" я ⊗ я ⊗ С

Ответы (1)

Собственные значения энергии задаются квантовым числом спина как С 2 ∣ ψ ⟩ "=" с ( с + 1 ) ℏ 2 ∣ ψ ⟩ . Для системы из трех спинов имеем либо с т о т "=" 3 2 или с т о т "=" 1 2 , пока с "=" ± 1 2 . Для общей трехспиновой системы собственные значения энергии ЧАС должно быть, для с т о т "=" 3 2 , с "=" 1 2 ;

Дж 2 ℏ 2 ( С т о т 2 − ( С 1 2 + С 2 2 + С 3 2 ) ) ∣ ψ ⟩ "=" Дж 2 ℏ 2 ( 3 2 ( 3 2 + 1 ) ℏ 2 − 3 1 2 ( 1 2 + 1 ) ℏ 2 ) ∣ ψ ⟩ "=" Дж 3 4 ∣ ψ ⟩ .

Остальное должно быть относительно прямолинейным. Кстати, у вас была небольшая ошибка во втором выражении гамильтониана.

Так когда с "=" 1 / 2 , собственные значения энергии были бы отрицательными, поэтому мы можем игнорировать эти состояния?
с т о т "=" 1 / 2 Я имею в виду
Нисколько. То, что собственное значение энергии отрицательно, не означает, что оно неверно и им можно пренебречь. Я думаю, что этот гамильтониан является гамильтонианом взаимодействия и, следовательно, только частью полного гамильтониана. Отрицательная энергия — это нормально, пока проблема не в этом.
Но с т о т может быть и минус? − 3 / 2 и − 1 / 2 ?
Потому что когда с т о т "=" + / − 1 / 2 , произойдет ли изменение состояния, чтобы тогда не было собственного состояния?
с т о т никогда не может быть отрицательным, потому что его компоненты, число спинового углового момента с я никогда не бывает отрицательным. Возможно, вы путаете его с квантовым числом спина проекции ( − с ≤ м с ≤ с ).
Собственные значения гамильтониана для системы с тремя взаимодействующими спиновыми степенями свободы со спином 1/2
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v