Пропагаторы, функции Грина, континуальные интегралы и амплитуды переходов в квантовой механике и квантовой теории поля

Квантовая механика и квантовая теория поля различаются тем, как они трактуют свои волновые уравнения. Использование общего термина «пропагатор» можно проследить до подхода «релятивистского волнового уравнения», т.е. е. люди действительно привыкли думать, что операторы Шредингера и КГ принадлежат к одному и тому же классу «квантовых операторов», но современная точка зрения рассматривает эти вещи как имеющие разную природу, поэтому я предлагаю вам сначала сделать то же самое. (Позже вы, возможно, захотите понять поле Шредингера в нерелятивистской КТП, прочитав главу III.5 Zee , и, если вы чувствуете себя смелым, истоки современной КТП, описанные в первом томе Вайнберга , раздел 1.2.) Соответственно , я разделю свой ответ на разделы по QFT и QM.

Квантовая механика.  Предположим, вы знаете амплитуду перехода$\def\xi{x_{\mathrm i}} \def\xf{x_{\mathrm f}} \def\ti{t_{\mathrm i}} \def\tf{t_{\mathrm f}}$

$$K(\xf,\tf;\xi,\ti) \equiv \langle \xf,\tf|\xi,\ti\rangle$$ и волновая функция $\psi(x,\ti) = \psi_0(x)$для всех $x$в определенное время $t =\ti$. Тогда вы также знаете это в любое другое время $t=\tf$: $$\begin{multline} \psi(\xf,\tf) \equiv \langle \xf,\tf|\psi(\ti)\rangle = \langle \xf,\tf|\left(\int d^n\xi\,|\xi,\ti\rangle\langle \xi,\ti|\right)|\psi(\ti)\rangle \\\equiv \int d^n\xi\,K(\xf,\tf;\xi,\ti)\psi_0(\xi).\tag{1} \end{multline}$$ Первые несколько разделов Фейнмана и Хиббса или глава 6 ^{PDF -} файла Средненицкого должны убедить вас в том, что $$K(\xf,\tf;\xi,\ti) = \int\limits_{x\rlap{(\ti)=\xi}}^{x\rlap{(\tf)=\xf}} \mathcal Dx(t)\,e^{i\int dt\,L(x(t),\dot x(t),t)}.$$ Обратите внимание на граничные условия в интеграле по траекториям: они окажутся важными в разделе КТП.

Переставим аргументы,$K(\xf,\tf;\xi,\ti) = K(\xf,\xi;\tf,\ti)$. Тогда вы сможете распознать в (1) интегральное представление оператора эволюции$U(\tf,\ti)$,

$$\psi(\xf,\tf)\equiv(U(\tf,\ti)\psi_0)(\xf) = \int d^n\xi\,K(\xf,\xi;\tf,\ti)\psi_0(\xi).$$ Если вы думаете о $\xi$а также $\xf$как индексы с непрерывным числом значений, эта формула очень похожа на умножение матриц и $K(\cdot,\cdot\,;\tf,\ti)$играет роль матрицы. Это имеет смысл, поскольку линейный оператор $U(\tf,\ti)$должен быть представлен (что-то вроде) матрицы! Математики называют это нечто (интегральным) ядром , отсюда $K$. Но на самом деле это очень большая матрица, за исключением патологий; говоря об этом, убедите себя, что дельта Дирака «функционирует» $\delta^n(\xf-\xi)$является ядром тождественного преобразования и что $K(\xf,\xi;\ti,\ti) = \delta^n(\xf-\xi)$.

Вооружившись знанием того, что дельта Дирака на самом деле является тождественным оператором, вы теперь видите, что определение функции Грина (точнее, фундаментальное решение ) линейного дифференциального оператора$L$, ограниченный нулевыми пространственными размерами и без явного$t$зависимость для простоты,

$$LG = \delta(t),$$ на самом деле просто определение инверсии! Данный $G$, также очевидно, как решить любое другое неоднородное уравнение: $$Lu = f(t)\quad\Leftarrow\quad u(t) = \int ds\,G(t-s)f(s).$$ Но какое отношение все это имеет к решению краевой задачи, которое является пропагатором? $K$? Все, оказывается, по принципу Дюамеля . Функция Грина $G$(для неоднородной задачи) и пропагатор $K$(для задачи о начальных значениях) на самом деле одинаковы! Обсуждение на Math.SE дает некоторую мотивацию, а в Википедии есть подробные сведения об обработке уравнений, которые имеют более чем первый порядок по времени (например, KG, а не Schrödinger). В любом случае конечный результат таков $K$выше - обратный оператор Шредингера, $$[\partial_t + iH(x,-i\partial_x)]K = \delta(t)\delta^n(x).$$

Интерлюдия.  Вам может быть интересно прочитать раздел 2 классической статьи Фейнмана « Теория позитронов» ^PDF , Phys. Rev. 76 , 749 (1949) и начало раздела 2 последующего пространственно-временного подхода к квантовой электродинамике ^PDF , Phys. Rev. 76 , 769 (1949), которая обеспечивает связь между подходами QM и QFT, показывая, как записать разложение возмущения в$g$для гамильтониана$H = T + gV$когда можно определить точную эволюцию по «кинетической» части$T$но не часть "взаимодействия"$gV$,$g \ll 1$. Например, вклад первого порядка выглядит как

$$K_1(\xf,\tf;\xi,\ti) = -ig\int_{\ti}^{\tf} dt\int d^3x\, K_0(\xf,\tf;x,t)V(x,t)K_0(x,t;\xi,\ti),$$ которое можно разумно описать как «распространяющееся в произвольную точку $x$, рассеивая потенциал и распространяясь оттуда к конечной точке». Вторая статья имеет расширение для многочастичных систем.

Фейнман впервые использовал это для мотивации своих диаграмм. Однако часть, относящаяся к самой КЭД, должна восприниматься с недоверием по причинам, изложенным в первом абзаце. Например, вам было бы очень весело объяснять, почему ограничение$\ti\le t\le \tf$не применяется в КТП — Фейнман назвал это причиной античастиц .

Квантовая теория поля.  Народная (в отличие от аксиоматической ) квантовая теория поля начинается с классического уравнения поля. Это и есть ваше уравнение КГ, или Дирака, или волновое уравнение: классическое уравнение, полученное из классического действия для поля. Вы можете разделить уравнение и действие на «свободную» и «взаимодействующую» части; свободная (или «кинетическая») часть обычно определяется как часть, которую вы можете точно решить — линейная часть уравнения, квадратичная часть действия. Тогда свободный пропагатор является обратным этой части. Обычно его называют$D$для фермионных и$\Delta$для бозонных полей, хотя соглашения (и коэффициенты!) различаются.

Рекламировать поля операторам$\hat\phi(x)$, используя каноническое квантование ; после некоторой боли и страданий вы обнаружите совершенно таинственный факт, что в свободной теории

$$\langle0|\mathcal T\hat\phi(x)\hat\phi(y)|0\rangle = \theta(x^0-y^0)\langle0|\hat\phi(x)\hat\phi(y)|0\rangle +\theta(y^0-x^0)\langle0|\hat\phi(y)\hat\phi(x)|0\rangle =\frac 1i \Delta(x-y),$$ куда $|0\rangle$является основным состоянием, а первое равенство служит для определения $\mathcal T$символ, время заказ . Однако в стране функциональных интегралов все это так же просто, как решить квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$заполнив квадрат ; вы можете найти подробности в главе I.2 Zee, начиная с уравнения (19). Результат $$\frac 1i \Delta(x-y) = \langle0|\mathcal T\hat\phi(x)\hat\phi(y)|0\rangle \equiv \int\mathcal D\phi(x)\,\phi(x)\phi(y)\,e^{iS[\phi]} = \left.\frac\delta{i\,\delta J(x)}\frac\delta{i\,\delta J(y)}\int\mathcal D\phi(x)\,e^{i\left(S[\phi] + \int d^4x\,J(x)\phi(x)\right)}\right|_{J = 0},$$ с эквивалентностью в середине, являющейся почти определением интеграла, и все это должно выглядеть разумно и не случайно напоминать статистическую физику. Обратите внимание, как интегрирование происходит по четырехмерным полевым конфигурациям. $\phi(x)$вместо путей частиц $x(t)$: QM - это просто QFT в одном измерении!

Вы должны получить интеграл по путям, чтобы понять, где$\mathcal T$исходит из — однако имеет смысл, если интеграл по путям определяет корреляторы, они должны иметь предписание упорядочения: под знаком интеграла нет операторов, только числа и нет упорядочения. Вывод также убедит вас в том, что (помните, как я говорил вам не забывать о граничных условиях?)

$$\int\mathcal Dx(t) \equiv \int d^n\xf\,d^n\xi \langle0|\xf\rangle \langle\xi|0\rangle \int\limits_{x\rlap{(\ti) =\xi}}^{x\rlap{(\tf) =\xf}}\mathcal Dx(t)$$ для произвольного $\ti$а также $\tf$которые охватывают все интересующие вас значения времени в одном измерении для простоты. Недавно мне пришлось записать детали, чтобы при необходимости вы могли свериться с моими заметками в ^{формате PDF} .

Последний шаг — введение взаимодействий; Я оставлю это для примечаний AMS или главы I.7 Zee, но идея снова (функционально) дифференцируется под (функциональным) интегралом:

$$\int\mathcal D\phi(x) e^{i\left(S[\phi] + I[\phi] + \int d^4x\,J(x)\phi(x)\right)} = e^{iI\left[\frac{\delta}{i\,\delta J}\right]} \int\mathcal D\phi(x) e^{i\left(S[\phi] + \int d^4x\,J(x)\phi(x)\right)}$$ и результат - вершины в диаграммах Фейнмана.