Вывод лагранжевой формы интеграла Фейнмана по траекториям посредством интегрирования по Гауссу

Гамильтонова форма интеграла по путям для временной эволюции одной частицы в одном измерении (в нерелятивистской квантовой механике):

$$\langle x|\hat U(t_2,t_1)|x'\rangle=\int \mathcal Dx \mathcal Dp \ e^{\frac i {\hbar} \int_{t_1}^{t_2} dt \ \big(p(t) \dot{x}(t) - \mathcal H(x(t),p(t))\big)}$$ Теперь представьте, что одиночная частица имеет стандартный квадратичный гамильтониан $\mathcal H(x,p)=\frac{p^2}{2m} +V(x)$. Подставив это в приведенное выше уравнение, мы можем использовать определение интеграла по путям, чтобы получить (уравнение 3.5 теорий поля конденсированного состояния Атланда и Саймонса): $$\langle x|\hat U(t_2,t_1)|x'\rangle=\lim_{N\to \infty} \int_{-\infty}^{\infty}...\int_{-\infty}^{\infty} \prod_{n=1}^{N-1}dx_n \prod_{n=1}^{N}\frac {dp_n}{2\pi} \ e^{\frac {i}{\hbar} \sum_{n=1}^{N} \delta t\big(p_n \dot x_n -\frac{p_n^2}{2m}-V(x) \big)}$$ Где $\delta t = \frac{t_2-t_1}{N}$и $\dot x_n \equiv \frac{x_n-x_{n-1}} {\delta t}$. Теперь мы можем видеть, что все интегралы по импульсам являются гауссовскими, и их легко вычислить. Записав сумму в экспоненте как произведение экспонент $e^{\frac {i}{\hbar} \sum_{n=1}^{N} \delta t\big(p_n \dot x_n -\frac{p_n^2}{2m}-V(x) \big)} = \prod_{n=1}^{N}e^{\frac {i}{\hbar} \delta t\big(p_n \dot x_n -\frac{p_n^2}{2m}-V(x) \big)}$, и объединяя два произведения, мы можем легко идентифицировать произведения интегралов Гаусса по импульсам, которые можно вычислить. Окончательный результат (уравнение 3.8 Атланда и Саймонса): $$\langle x|\hat U(t_2,t_1)|x'\rangle=\int \mathfrak Dx \ e^{\frac i {\hbar} \int_{t_1}^{t_2} dt \ \big(\frac {1}{2m} \dot{x}^2(t) - V(x(t))\big)}=\int \mathfrak Dx \ e^{\frac i {\hbar} \int_{t_1}^{t_2} dt \ \mathcal L(x,\dot x)}$$ Где $\mathfrak Dx$является переопределенной «мерой»: $$\mathfrak Dx \equiv \lim_{N \to \infty} \big(\frac {mN}{i2 \pi \hbar (t_2-t_1)}\big)^{N/2} \prod_{n=1}^{N-1}dx_n$$

Мой вопрос:

Переопределенная мера имеет постоянный коэффициент, который расходится как$N^{N/2} \to \infty$. Я не понимаю, что это значит физически. Я предполагаю, что все интегралы без этого множителя стремятся к нулю, так что умножение на этот расходящийся множитель дает конечный правдоподобный ответ для$\langle x|\hat U|x'\rangle$. Я смотрю на это с другой точки зрения: по крайней мере, в контексте статистической механики все физические величины, такие как математические ожидания, задаются как отношение интегралов по траекториям, так что расходящиеся члены сокращаются. Однако я не могу найти способ показать это в контексте квантовой механики, когда интеграл по путям играет роль пропагатора.