Гамильтониан с двумя состояниями в континуальном интеграле Фейнмана

Question

Гамильтониан с двумя состояниями в континуальном интеграле Фейнмана

Физика
распространитель
интеграл по путям
квантовая механика

физика_фан_123

В типичных построениях континуального интеграла, которые я видел, они всегда исходят из предположения, что гамильтониан, с которого начинается, является функцией $x$ и $p$ , также известный как $n$ степени свободы:

ЧАС "=" \sum_{к}^{н} \frac{п_{к}^{2}}{2 м_{к}} + В ({Икс}_{1}, {Икс}_{2}, \dots, {Икс}_{н}),

$H=\sum_k^n \frac{p_k^2}{2m_k} + V(x_1,x_2,\cdots,x_n) \, ,$

что позволяет использовать расщепление Троттера для упрощения пропагатора. При выводе интеграла по траекториям этот шаг составляет

⟨ {Икс}_{ф} | е^{- я ЧАС т / ℏ} | {Икс}_{0} ⟩ "=" \int г {Икс}_{1} \dots \int г {Икс}_{Н - 1} \prod_{к "=" 1}^{Н} ⟨ {Икс}_{к} | е^{- я ЧАС Δ т_{к} / ℏ} | {Икс}_{к - 1} ⟩

$\langle x_f |e^{-iHt/\hbar}|x_0\rangle = \int dx_1\cdots \int dx_{N-1}\prod_{k=1}^{N}\langle x_{k}|e^{-iH\Delta t_k/\hbar}|x_{k-1}\rangle$

где можно написать в пределе, что $N \rightarrow \infty$

е^{- я ЧАС Δ т_{к} / ℏ} \approx е^{- я В Δ т_{к} / 2 ℏ} е^{- я Т Δ т_{к} / ℏ} е^{- я В Δ т_{к} / 2 ℏ}

$e^{-iH\Delta t_k/\hbar} \approx e^{-iV\Delta t_k/2\hbar}e^{-iT\Delta t_k/\hbar}e^{-iV\Delta t_k/2\hbar}$

где потенциальные члены теперь напрямую связаны с состояниями позиции, что приводит к приятным вещам в дальнейшем.

Как изменится вывод и, следовательно, изменится формулировка интеграла по путям, если вы больше не будете исходить из того, что начинаете с гамильтониана, зависящего от положения и импульса?

Предположим, что существует гамильтониан с двумя состояниями. $H = A\sigma_x + B\sigma_z$ (где $\sigma$ являются спиновыми матрицами Паули), и теперь расщепление Троттера больше не имеет смысла. Как можно продолжить вычисление пропагатора отсюда?

Адам

Вы ищете (спин) когерентный интеграл пути состояния.

Даниэль Санк

Обратите внимание, что в процессе интеграции пути, к которому вы привыкли, вы просто вставляете

N

$N$ разрешение личности, а затем принятие

N \to \infty

$N \rightarrow \infty$ . Вы можете сделать то же самое со спинами... это просто другое разрешение идентичности.

физика_фан_123

@DanielSank Итак, чтобы быть легко совместимыми со спиновыми матрицами Паули в гамильтониане, наша стратегия должна заключаться в том, чтобы вставлять полные наборы состояний, которые являются собственными состояниями гамильтониана? Таким образом, когда вы вставляете состояния и сталкиваетесь с чем-то вроде

⟨ Ω | e^{- i H t / ℏ} | Ω^{'} ⟩

$\langle \Omega |e^{-iHt/\hbar}| \Omega' \rangle$ , где

| Ω ⟩

$|\Omega \rangle$ какое собственное состояние оператора эволюции во времени можно легко вынуть из бюстгальтера и кета?

Даниэль Санк

Более или менее, да. См. комментарий Адама.

Ответы (1)

Гамильтониан с двумя состояниями в континуальном интеграле Фейнмана

Вы ищете (спин) когерентный интеграл пути состояния.
Обратите внимание, что в процессе интеграции пути, к которому вы привыкли, вы просто вставляете $N$ разрешение личности, а затем принятие $N \rightarrow \infty$ . Вы можете сделать то же самое со спинами... это просто другое разрешение идентичности.
@DanielSank Итак, чтобы быть легко совместимыми со спиновыми матрицами Паули в гамильтониане, наша стратегия должна заключаться в том, чтобы вставлять полные наборы состояний, которые являются собственными состояниями гамильтониана? Таким образом, когда вы вставляете состояния и сталкиваетесь с чем-то вроде $\langle \Omega |e^{-iHt/\hbar}| \Omega' \rangle$ , где $|\Omega \rangle$ какое собственное состояние оператора эволюции во времени можно легко вынуть из бюстгальтера и кета?
Более или менее, да. См. комментарий Адама.

Роджер Вадим · Answer 1

Обзор Шанкара по ренормализационной группе использует двухуровневую систему в качестве примера для введения формализма чисел Грассмана, фермионного интеграла по траекториям и т. д. ( также доступно на arXive ). Двухуровневую систему, конечно, можно рассматривать как единое фермионное состояние. Однако, как отметил @Adam в комментариях, вам может понадобиться интеграл спинового пути, и в этом случае хорошими ссылками являются книги Нагаоса или Ауэрбаха .

Замечание.
Все приведенные выше источники относятся к многочастичным системам, т. е. в основном работают в формализме вторичного квантования. Кажется, что ОП предлагает интеграл по траектории знаковых частиц в соответствии с книгой Фейнмана-Хиббса - они редко используются, и источники действительно скудны.

Здесь вместо состояний импульса можно было бы использовать собственные состояния спина $|\sigma\rangle$ и рассчитать

⟨ о_{ф} | е^{- я ЧАС т / ℏ} | о_{я} ⟩ "=" \sum_{о_{1}} \sum_{о_{2}} . . . \sum_{о_{Н - 1}} \prod_{к "=" 1}^{Н} ⟨ о_{к} | е^{- я ЧАС Δ т_{к} / ℏ} | о_{к - 1} ⟩

$\langle\sigma_f|e^{-iHt/\hbar}|\sigma_i\rangle = \sum_{\sigma_1}\sum_{\sigma_2}...\sum_{\sigma_{N-1}}\prod_{k=1}^N \langle\sigma_k|e^{-iH\Delta t_k/\hbar}|\sigma_{k-1}\rangle$ и так далее. Однако при этом будут упущены некоторые важные фазовые термины, поэтому я рекомендую обратиться к книгам, упомянутым выше (или просто поискать в Google полный вывод).

Спасибо за ваш ответ! Я чувствую, что было достаточно сложно найти ресурс по этому вопросу (даже после нескольких поисков в Google). Не проще ли это сделать в многочастичных системах?
Это более полезно в системах многих частиц - в базовой КМ интегралы по траекториям действительно не нужны.
Вот что я получаю, просто погуглив «интеграл спинового пути»: journals.aps.org/pr/abstract/10.1103/PhysRev.176.1558 , arxiv.org/abs/1211.4509 , nptel.ac.in/content/storage2/courses/ 115101009/downloads/… и многое другое.
В этой ссылке ( researchgate.net/profile/Mekki-Aouachria/publication/… ) авторы, похоже, используют описанную выше стратегию собственных состояний спина, только с этими когерентными состояниями, $|\Omega \rangle = |\theta, \psi \rangle = e^{-i\psi S_z}e^{-i\theta S_y} |\uparrow \rangle$ ... Имеет ли это смысл?
Я понимаю, что формально они просто вращают состояние вращения вверх, но я полагаю, я не понимаю, почему они это делают? Может ли это генерировать состояние замедления вращения, так что $\langle\Omega|e^{-iHt/\hbar}|\Omega '\rangle$ является амплитудой вероятности найти состояние либо со спином вверх, либо со спином вниз после времени t?
Именно это я и имел в виду, когда говорил о текстах многих тел — они, скорее всего, делают это в терминах когерентных состояний, поэтому сначала нужно изучить когерентные состояния, которые легче изучить в первую очередь для бозонов/фермионов, чем для спины, что требует знания вторичного квантования и т. д. Это означает, что интегралы по траекториям становятся полезными на довольно продвинутом уровне.

Гамильтониан с двумя состояниями в континуальном интеграле Фейнмана

физика_фан_123

Адам

Даниэль Санк

физика_фан_123

Даниэль Санк

Ответы (1)

Роджер Вадим

физика_фан_123

Роджер Вадим

Роджер Вадим

физика_фан_123

физика_фан_123

Роджер Вадим

Вывод лагранжевой формы интеграла Фейнмана по траекториям посредством интегрирования по Гауссу

Оцените Propagator для частицы, движущейся по кругу

Интеграл по путям в четном числе пространственных измерений: существует ли он?

Нормализация пропагаторов (интегралы по путям)

Пропагатор в квантовом механизме интеграла по пути как функция Грина уравнения Шредингера

Распространитель свободного пространства: согласование двух результатов

Пропагатор Фейнмана для фотонов и фактическое распространение фотонов

Пропагатор гармонического осциллятора

Предел как x1→x0x1→x0x_1 \to x_0 для пропагатора гармонического осциллятора

Пропагаторы, функции Грина, континуальные интегралы и амплитуды переходов в квантовой механике и квантовой теории поля