Оцените Propagator для частицы, движущейся по кругу

Насколько я понимаю, у вас есть два вопроса. Я отвечу на них отдельно. На протяжении всего я буду устанавливать$\hbar = 1$.

1) Откуда сумма$\sum_{n = -\infty}^{\infty}$родом из?

Стандартная форма интеграла по путям для пропагатора свободной частицы имеет вид

где интегралы проходят по всем путям$x(\tau)$удовлетворяющие граничным условиям$x(0) = x_{1}$и$x(\beta)=x_{2}$, и$S_{E}$является евклидовым действием.

Суть этого ответа заключается в том, что в интеграле по путям мы интегрируем по всем возможным путям, удовлетворяющим заданным граничным условиям. От чего зависит замена переменных$x(\tau)$к$s(\tau)$делает, чтобы сделать то, как мы подсчитываем эти пути более явным.

В вопросе мы определяем переменную$s(\tau)$что удовлетворяет$s(0) = s(\beta) = 0$. Помимо этих граничных условий,$s(\tau)$полностью неограничен (т. е. не ограничен круговой топологией). Теперь для каждого выбора$s(\tau)$, мы можем определить путь

для некоторого целого числа$n$, и это будет правильный путь для интеграла по путям, поскольку круговая топология означает, что мы идентифицируем точки по модулю$L$. Кроме того, между вариантами$s(\tau)$и$n$, мы перечислили все возможные пути, удовлетворяющие заданным граничным условиям.

Таким образом, в выражении для пропагатора мы должны интегрировать по$s(\tau)$и суммировать$n$чтобы убедиться, что мы учитываем все возможные пути$x(\tau)$. Это дает нам выражение

с$x_{n}(\tau)$дано, как указано выше.

2) Почему следует$Z_{0}$— диагональный матричный элемент пропагатора на$\mathbb{R}$?

Как вы указали в своем вопросе, евклидово действие$S_{E}[x_{n}(\tau)]$делится на две части, определяемые

где$S_{n} = \frac{m}{2 \beta} \left[ (x_{2} - x_{1}) + n L \right]^{2}$. Это разделение полезно, потому что оно отделяет зависимость от$n$и$s(\tau)$.

С$S_{n}$является константой, мы можем вынести ее из интеграла по путям. Эта часть дает слагаемое в выражении для распространителя, которое вы пытаетесь вывести.

Оставшаяся часть

где мы помним, что путь$s(\tau)$имеет граничные условия$s(0) = s(\beta) = 0$, но в остальном не имеет ограничений (т. е. не ограничивается круговой топологией). Но это именно то, что мы написали бы для пропагатора свободной частицы в одном измерении, движущейся из$x=0$к$x=0$в воображаемом времени$\beta$! А из трансляционной инвариантности это не должно зависеть от того, что частица стартует и кончается в$x=0$, как раз тот факт, что путь периодический. Следовательно, оставшаяся часть дает нам$Z_{0} = \langle x | e^{-\beta H} | x \rangle$для свободной частицы, движущейся по реальной линии. Это «диагональный» матричный элемент пропагатора, потому что это просто пропагатор.$\langle x_{2} | e^{-\beta H} | x_{1} \rangle$оценивается в$x_{1} = x_{2} = x$.

Я на мобильном телефоне, поэтому не смогу дать уравнения, будет очень волнообразно. Если вам нужно больше объяснений, я уточню. Для пространств нетривиальных топологий, таких как описанный здесь случай, чтобы получить правильное представление континуального интеграла по путям, вам необходимо использовать разрешение тождеств, соответствующее рассматриваемому пространству состояний, т. Е. Избегая двойного счета. Далее вам придется использовать для этого случая формулу суммирования Пуассона. Вы можете найти очень хорошее обсуждение этого в книгах Кляйнерта или Шульмана.