Замкнутые времениподобные кривые в метрике Керра

Запишу метрику в экваториальной плоскости ($\vartheta = \pi/2$) пространства-времени Керра в координатах Бойера-Линдквиста:

$$d s^2 = -\left(1 - \frac{2M r}{r^2 + a^2}\right) d t^2 + \frac{r^2+a^2}{r^2 - 2Mr + a^2} d r^2 + \left(r^2 + a^2 + \frac{2M r a^2 }{r^2 + a^2}\right) d \varphi^2 - \frac{2 M r a}{r^2 + a^2} dt d \varphi$$ Теперь вы должны поверить мне, что прохождение кольцевой сингулярности в$r=0$(помните, что$r,\vartheta$на самом деле являются сплюснутыми эллипсоидальными координатами и$r=0$это диск) означает собирается$r$отрицательный. Теперь я хотел бы знать, существует ли$r$такой, что вектор$\eta^\mu = \delta^\mu_\varphi$подобен времени. я нахожу это $$\eta^\mu \eta_\mu = g_{\varphi \varphi} = r^2 + a^2 + \frac{2M r a^2 }{r^2 + a^2}$$ который является отрицательным в определенном диапазоне отрицательных$r$(диапазон имеет замкнутое и громоздкое выражение, соответствующее двум корням уравнения четвертой степени). Поскольку интегральные кривые$\eta^\mu$закрыты, в этом диапазоне$r$, существуют замкнутые времяподобные кривые. Когда вы уходите от экватора и рисуете области, где$g_{\varphi\varphi}$отрицательно, вы обнаружите, что эта область является конечным «бубликом» вблизи кольцевой сингулярности в$r<0$часть керровского пространства-времени.

Проблема, однако, в том, что если вы начнете со своей времениподобной кривой в этом пончике, вы также можете оставить ее, пройти через сингулярность обратно в$r>0$, и вплоть до внутреннего горизонта черной дыры Керра. Затем вы возвращаетесь обратно в$g_{\varphi\varphi}<0$пончик, и вам разрешено обводить$\varphi$на неопределенный срок с небольшим отрицательным дрейфом в$t$, и, в конце концов, замкнёт свою времяподобную кривую (встретится с самим собой из собственного прошлого). Столь замкнутые времениподобные кривые подразумеваются существованием «акаузального бублика» вплоть до внутреннего горизонта черной дыры Керра. Это также одна из причин, по которой область внутреннего горизонта часто отбрасывают как нефизическую.

См. раздел 3.19 книги «Черные дыры: введение» Дерека Дж. Рейна, Эдвина Джорджа Томаса.

https://books.google.ca/books?id=O3puAMw5U3UC&pg=PA103&lpg=PA103&dq=kerr+schild+closed+timelike&source=bl&ots=elnzJu2ySm&sig=B4cWXIkib4fqbs0D7yA2YlZKE8A&hl=en&sa=X&redir_esc=0d#v=one2closes&q=child% 20timelike&f=false

В этой книге есть пример: координаты Бойера-Линдквиста: возьмите орбиту, на которой меняется только фи, затем собственное время на этой орбите определяется формулой (формула в книге), затем мы устанавливаем r = сразу внутри кольцевой сингулярности, и получаем времяподобный путь dt > 0, который является периодическим.