Путаница с лестничными операторами

Question

Путаница с лестничными операторами

Леми1305

Рассмотрим систему, состоящую из $N$ бозонные частицы, которые не взаимодействуют друг с другом. Гамильтониан этой системы будет иметь вид

ЧАС "=" \sum_{я "=" 1}^{Н} \frac{ℏ^{2}}{2 м} {\hat{п}}_{я}^{2} .

$H = \sum_{i=1}^N \frac{\hbar^2}{2m}\hat{p}^2_i \quad .$

Этот гамильтониан действует на гильбертовом пространстве $N$ частицы $\mathcal{H_N}$ . Мы можем переписать гамильтониан, используя лестничные операторы

ЧАС "=" \sum_{\vec{к}} \frac{ℏ^{2} {\vec{к}}^{2}}{2 м} с_{\vec{к}}^{†} с_{\vec{к}} .

$H = \sum_{\vec{k}} \frac{\hbar^2 \vec{k}^2}{2m}c^\dagger_{\vec{k}} c_{\vec{k}} \quad .$

Меня смущает следующее: гамильтониан — это оператор, действующий в гильбертовом пространстве $\mathcal{H_N}$ . Взглянув на гамильтониан с использованием вторичного квантования, можно увидеть, что лестничные операторы «соединяют» разные гильбертовы пространства:

с_{\vec{к}} : {ЧАС}_{Н} \to {ЧАС}_{Н - 1}

$c_{\vec{k}}: \mathcal{H_N} \rightarrow \mathcal{H_{N-1}}$

и

с_{\vec{к}}^{†} : {ЧАС}_{Н - 1} \to {ЧАС}_{Н}

$c^{\dagger}_{\vec{k}}: \mathcal{H_{N-1}} \rightarrow \mathcal{H_{N}}$

Однако, используя коммутационные соотношения, мы можем перевыразить данный гамильтониан:

ЧАС "=" \sum_{\vec{к}} \frac{ℏ^{2} {\vec{к}}^{2}}{2 м} (с_{\vec{к}} с_{\vec{к}}^{†} + 1)

$H = \sum_{\vec{k}} \frac{\hbar^2 \vec{k}^2}{2m} (c_{\vec{k}}c^\dagger_{\vec{k}}+\mathbb{1})\quad$

В этом случае похоже, что операторы переключили пробелы, они действуют на:

с_{\vec{к}}^{†} : {ЧАС}_{Н} \to {ЧАС}_{Н + 1}

$c^{\dagger}_{\vec{k}}: \mathcal{H_{N}} \rightarrow \mathcal{H_{N+1}}$

и

с_{\vec{к}} : {ЧАС}_{Н + 1} \to {ЧАС}_{Н} .

$c_{\vec{k}}: \mathcal{H_{N+1}} \rightarrow \mathcal{H_{N}} \quad.$

Мне кажется очень неправильным, что мы меняем природу лестничных операторов, просто воспользовавшись коммутационным соотношением. Поэтому я надеюсь на некоторые разъяснения по этой проблеме.

NDewolf

Вы знаете, что такое пространство Фока?

Любопытный Разум

Я не понимаю в чем проблема - у вас второй набор карт такой же как и с первым, вы просто заменили метку

N

$\mathcal{N}$ к

N + 1

$\mathcal{N} + 1$ (Обратите внимание, что

N

$\mathcal{N}$ является свободной переменной). Проведем аналогию: нет никакой разницы между утверждением, что последовательность задается

a_{i} = i

$a_i = i$ начинается с

i = 0

$i=0$ или говоря, что это дано

a_{i} = i - 1

$a_i = i - 1$ начинается с

i = 1

$i=1$ . Можете ли вы уточнить, какого рода разъяснения вы ищете?

Ответы (3)

Путаница с лестничными операторами

Вы знаете, что такое пространство Фока?
Я не понимаю в чем проблема - у вас второй набор карт такой же как и с первым, вы просто заменили метку $\mathcal{N}$ к $\mathcal{N} + 1$ (Обратите внимание, что $\mathcal{N}$ является свободной переменной). Проведем аналогию: нет никакой разницы между утверждением, что последовательность задается $a_i = i$ начинается с $i=0$ или говоря, что это дано $a_i = i - 1$ начинается с $i=1$ . Можете ли вы уточнить, какого рода разъяснения вы ищете?

Тобиас Фюнке · Answer 1

Я думаю, что проблема заключается в том, что, хотя можно определить операторы рождения и уничтожения для фиксированного $N$ , их известные коммутационные соотношения имеют смысл только в том случае, если операторы распространяются на фоковское пространство:

Ф "=" ⨁_{Н "=" 0}^{\infty} {ЧАС}_{Н} .

$\mathcal F = \bigoplus\limits_{N=0}^\infty \mathcal H_N \quad .$

Действительно, написание

\begin{matrix} (1) & [с, с^{†}] "=" с с^{†} - с^{†} с \end{matrix}

$[c,c^\dagger] = c c^\dagger - c^\dagger c \tag{1}$

плохо определено, если оба $c$ и $c^\dagger$ операторы рождения и уничтожения, определенные для произвольного, но фиксированного $N$ , например, как карты

\begin{aligned} с^{†} & : {ЧАС}_{Н} ⟶ {ЧАС}_{Н + 1} \\ с & : {ЧАС}_{Н + 1} ⟶ {ЧАС}_{Н} . \end{aligned}

$\begin{align} c^\dagger&: \mathcal H_N \longrightarrow \mathcal H_{N+1} \\ c&:\mathcal H_{N+1} \longrightarrow \mathcal H_N \quad . \end{align}$ Это довольно легко увидеть, так как первый член в правой части уравнения

(1)

$(1)$ это карта из

H_{N}

$\mathcal H_N$ к

H_{N}

$\mathcal H_N$ , но второй член не может действовать ни на какое состояние

| ψ ⟩ \in H_{N}

$|\psi\rangle \in\mathcal H_N$ , как

c

$c$ определяется только для состояний в

H_{N + 1}

$\mathcal H_{N+1}$ . Таким образом, соотношение коммутации, которое вы использовали, на самом деле недействительно.

Однако, если операторы расширены на $\mathcal F$ (ср. это ), то мы можем определить их соответствующий коммутатор и получить обычные коммутационные соотношения. Итак, у нас есть $c,c^\dagger :\mathcal F \longrightarrow\mathcal F$ и мы можем определить $N$ -частичное состояние $|\psi\rangle \in \mathcal H_N$ с $\mathcal F \ni \psi = (0,\ldots,|\psi\rangle,0,\ldots)$ . Обратите внимание, что он по-прежнему держится, например, $c^\dagger$ отображает состояние с $N$ частицы в состояние с $N+1$ частицы. Но у нас есть только один $c^\dagger$ (на режим) вкл. $\mathcal F$ а не по одному оператору (на режим) на каждый $N$ .

Следовательно, ваш гамильтониан является оператором $H:\mathcal F\longrightarrow \mathcal F$ , со свойством, что если $\psi \in\mathcal F$ это $N$ -частичное состояние, то $H\psi \in F$ это $N$ -частичное состояние тоже, т.е. $H$ сохраняет число: $[H,N]=0$ , где $N = \displaystyle \sum\limits_k c^\dagger_k c_k$ это числовой оператор на $\mathcal F$ .

Люк Притчетт · Answer 2

Одна из проблем заключается в том, что ваши два гамильтониана на самом деле не равны.

Второй,

ЧАС "=" \sum_{\vec{к}} \frac{ℏ^{2} {\vec{к}}^{2}}{2 м} с_{к}^{†} с_{к}

$H = \sum_{\vec{k}} \frac{\hbar^2 \vec{k}^2}{2m} c^†_{k}c_k$ является гамильтонианом для одного бозона, а не для нескольких бозонов.

Здесь операторы рождения и уничтожения создают и уничтожают определенные частотные моды для отдельной частицы. Они не создают и не уничтожают частицы. Чтобы действительно совместить два гамильтониана, ваша вторая версия должна быть

ЧАС "=" \sum_{я} \sum_{\vec{к}} \frac{ℏ^{2} {\vec{к}}^{2}}{2 м} с_{(я), к}^{†} с_{(я), к}

$H = \sum_{i}\sum_{\vec{k}} \frac{\hbar^2 \vec{k}^2}{2m} c^†_{(i),k}c_{(i),k}$ Теперь каждый

c_{(i), k}

$c_{(i),k}$ является оператором, удаляющим моду

\vec{k}

$\vec{k}$ из состояния

i

$i$ частица.

Другая часть вашего вопроса заключается в том, как изменить порядок $c$ операторы, по-видимому, меняют гильбертово пространство, в котором они действуют. Ваша ошибка - это часть, где вы пишете

с_{к} : {ЧАС}_{Н} \to {ЧАС}_{Н - 1}

$c_k : \mathcal{H}_N \rightarrow \mathcal{H}_{N-1}$

Это обозначение означает, что $c_k$ оператор, который действует только на $\mathcal{H}_N$ . Но это определенно не так. $c$ операторы действуют во всем гильбертовом пространстве, состоящем из подпространств с разными числами заполнения. Запишем в математических обозначениях:

ЧАС "=" {ЧАС}_{1} \oplus {ЧАС}_{2} \oplus \dots

$\mathcal{H} = \mathcal{H}_1\oplus\mathcal{H}_2\oplus \dots$

с_{к} : ЧАС \to ЧАС

$c_{k} : \mathcal{H}\rightarrow \mathcal{H}$

с_{к} ({ЧАС}_{Н}) \subseteq {ЧАС}_{Н - 1} для любого Н

$c_k(\mathcal{H}_N) \subseteq \mathcal{H}_{N-1}\text{ for any $N$}$ .

Положите таким образом, $c^†_kc_k$ и $c_k c^†_k$ явно действуют в одном и том же гильбертовом пространстве, и нет проблем с их перестановкой.

Я думаю, что ваш аргумент о том, что «два гамильтониана на самом деле не равны», неверен. Операторы $c_k^\dagger$ и $c_k$ создают и уничтожают частицы. Существует один тип бозона с несколькими частицами этого типа, и, поскольку они неразличимы, нет смысла $i$ частица». Итак, $c_k$ не "удаляет режим $k$ из состояния» конкретной частицы, а разрушает частицу в режиме $k$ (или возвращает нулевой вектор, когда такой частицы нет). ...
... Перефразируй: $c_k^\dagger + c_l^\dagger$ создает одну частицу в суперпозиции мод $k$ и $l$ , тогда как $c_k^\dagger c_l^\dagger$ создает две частицы, одну в $k$ и один в $l$ . Индекс не нужен $(i)$ здесь.

оневал · Answer 3

Я считаю, что неправильно думать о создании/уничтожении частиц для кажущейся нерелятивистской системы или даже в более общем смысле для системы без взаимодействий. Вторичное квантование в этом контексте по-прежнему означает фиксированное число частиц, в то время как интерпретация лестничных операторов заключается в возбуждении или релаксации мод данной частицы.

Сказав это, вы должны понимать, что оператор $c_i$ всегда действует на часть (фактор) полного гильбертова пространства (пространство Фока) ${\cal F} = {\cal H}_1 \otimes \cdots\otimes {\cal H}_i \otimes \cdots\otimes {\cal H}_N$ что соответствует $i$ -я частица, а именно только на ${\cal H}_i$ . Итак, внутри ${\cal H}_i$ у вас есть все возбуждения. И оператор $c_i$ всегда идет от ${\cal H}_i$ к себе. Пока нет термов взаимодействия между частицами, лестничные операторы сами по себе не связывают разные одночастичные гильбертовы пространства.

PS: Для релятивистских систем частицы действительно могут распадаться на другие частицы или излучение или наоборот создаваться в определенных процессах. Это происходит только тогда, когда энергия достаточно высока, чтобы иметь дело с релятивистскими скоростями.

Можешь уточнить первое предложение. Почему в данном случае важно, релятивистская она или нет?
Формализм создания/уничтожения постоянно используется в нерелятивистских системах многих тел, этот ответ очень странный. Второй абзац еще хуже, так как он совершенно неверен, операторы рождения/уничтожения явно связывают сектора гильбертова пространства с разными номерами частиц.
В первом абзаце говорится, что я рассматриваю фиксированное число частиц, в гамильтониане, данном без каких-либо взаимодействий, это так. Во втором абзаце говорится, что для каждой частицы, действующей в гильбертовом пространстве частиц, существуют четко определенные лестничные операторы. Я буду еще более точным, чтобы избежать путаницы, дайте мне знать, если что-то еще можно улучшить.
Я согласен с @AfterShave в том, что вы не можете определить лестничный оператор исключительно в гильбертовом пространстве с одной частицей (или любой фиксированной частицей). Возможно, вы имеете в виду лестничные операторы обычных гармонических осцилляторов (несвободные частицы в $x^2$ потенциал)? При вторичном квантовании разные уровни «осцилляторов» свободных частиц представляют разное количество частиц , а не разные возбуждения одних и тех же частиц.
Я действительно думаю в терминах гармонического осциллятора и точно так же определяю лестничные операторы. Поэтому их можно понимать как повышение уровня энергии. Но изменений в количестве частиц в том, что пишет ОП, нет.
Я не совсем понимаю ваш ответ. Заметим, однако, что разумно использовать операторы рождения и уничтожения в контексте нерелятивистских систем конденсированного состояния, и эти методы действительно применяются практически везде. Об этом написано множество книг, см. Альтланд и Саймонс. Теория поля конденсированного состояния или Гросс и Рунге. Теория многих частиц.

Путаница с лестничными операторами

Леми1305

NDewolf

Любопытный Разум

Ответы (3)

Тобиас Фюнке

Люк Притчетт

наночеловек

наночеловек

оневал

Мартин

после бритья

оневал

наночеловек

оневал

Тобиас Фюнке

Почему операторы лестницы не ездят на работу?

Коммутатор положения и импульса

Ограничение оператора

L^xL^x\hat{L}_{x} и L^yL^y\hat{L}_{y} не коммутируют... или коммутируют?

Теорема Стоуна-фон Неймана

Среднее значение коммутатора в квантовой механике

Второе квантование: оператор идентификации не коммутирует?

Как доказательство коммутативности операторов работает с прерывистыми операторами?

Связь между операторами уничтожения/создания гармонического осциллятора в КМ и вторичном квантовании

Почему лестничные операторы в гармонических осцилляторах работают?