Как доказательство коммутативности операторов работает с прерывистыми операторами?

Можно сказать что-то более точное, чем ответ Мартина (это, однако, правильно). Ключевым моментом является то, что самосопряженные операторы являются замкнутыми операторами . Оператор$A: D(A) \to H$, с$D(A) \subset H$линейное подпространство гильбертова пространства$H$называется замкнутым, если для любой последовательности векторов$f_n\in D(A)$такой, что

(1)$f_n \to f \in H$как$n\to +\infty$

и

(2)$Af_n \to g \in H$как$n\to +\infty$

затем$f\in D(A)$и$Af=g$.

Другими словами, если оба$D(A) \supset \{f_n\}$и$\{Af_n\}$сходятся, то можно поменять местами символ предела и$A$:

Есть несколько других эквивалентных определений замкнутых операторов, но это более элементарное и не требует пояснений.

Ясно, что непрерывные операторы замкнуты, но обратное, вообще говоря, неверно.

В самой элементарной формулировке КМ наблюдаемые представляются самосопряженными (как правило, неограниченными и не определяемыми глобально) операторами.$A$на подходящем гильбертовом пространстве. Так$A=A^*$. Из определения сопряженного оператора становится очевидным, что$A^*$закрыто. Таким образом$A$так же закрыт. Эта более слабая версия непрерывности позволяет оправдать несколько наивных манипуляций, подобных упомянутым вами.

Предположим теперь, что A самосопряжена (в этом случае$D(A)$плотно), допускающее полную ортонормированную систему собственных векторов$\phi_n$, где$A\phi_n = \lambda_n \phi_n$(Я предполагаю, что пространство сепарабельно только ради простоты, так как то, что я пишу, остается в силе, даже если отбросить эту гипотезу).

Очевидно$\phi_n \in D(A)$и можно доказать (например, с помощью спектральной теоремы, упомянутой Мартином), что$\psi = \sum_n c_n \phi_n \in D(A)$если$\sum_n |c_n \lambda_n|^2 < +\infty$.

Последнее неравенство, ввиду самого определения гильбертова базиса, равносильно тому, что$\sum_n c_n \lambda_n \phi_n$сходится к некоторому вектору$\phi\in H$.

С$A$замкнуто, легко увидеть, что:

Мы доказали, что:

ТЕОРЕМА. Позволять$H$— (комплексное сепарабельное) гильбертово пространство. Предположим, что$A$является самосопряженным оператором в$H$, вообще говоря, неограниченный и определенный на (плотном) линейном подпространстве$D(A)$из$H$, допускающий полную ортонормированную систему собственных векторов$\phi_n$, где$A\phi_n = \lambda_n \phi_n$. Если$\psi \in D(A)$затем :

Теперь, дважды применяя теорему, мы получаем немедленное следствие, если вспомнить, что для пары операторов$C,D$на$H$с доменами$D(C)$и$D(D)$соответственно:

СЛЕДСТВИЕ. Ссылаясь на приведенную выше теорему, предположим, что$B: D(B) \to H$есть еще один самосопряженный оператор, определенный на плотном линейном пространстве$D(B) \subset H$такой, что$B\phi_n = \mu_n \phi_n$для каждого$n$. Если$\psi \in D(AB) \cap D(BA)$затем :

Поскольку я не специалист по спектральной теории, это будет лишь частичный ответ, однако я считаю, что этот вопрос математически гораздо сложнее, чем вы думаете.

Прежде всего, давайте рассмотрим конечномерный случай: у нас есть две эрмитовых матрицы$A,B\in\mathcal{M}_d$и они коммутируют тогда и только тогда, когда коммутируют их спектральные проекции, т. е. они имеют общий собственный базис. Так много, так хорошо.

Теперь перейдем к сепарабельному комплексному гильбертовому пространству.$\mathcal{H}$. Первое, что следует отметить, это то, что для общих ограниченных операторов термин «базис собственных векторов» больше не является четко определенным. Ограниченный оператор$A\in\mathcal{B}(\mathcal{H})$может иметь непрерывный спектр. Итак, давайте сначала сделаем что-нибудь попроще:

Определение: оператор$C\in\mathcal{B}(\mathcal{H})$(ограниченный оператор) называется компактным , если он может быть аппроксимирован оператором конечного ранга (т. е. является «пределом» конечномерных операторов). Кроме того, компактный оператор называется самосопряженным , если он эрмитов (т.е.$\langle \psi, H \phi \rangle = \langle H\psi, \phi \rangle$для всех векторов гильбертова пространства).

Есть и более естественные эквивалентные характеристики, но здесь они меня не интересуют. Теперь у нас есть спектральная теорема:

Теорема: Дан самосопряженный компактный оператор$A\in\mathcal{B}{(\mathcal{H})}$, существует последовательность действительных чисел$\{\lambda_i\}_{i\in\mathbb{N}}$с накоплением в нуле и последовательностью спектральных проекций$\{P_i\}_{i\in\mathbb{N}}$такой, что

Теперь, учитывая эту теорему, мы всегда можем использовать приведенное выше доказательство. Нам просто нужно отметить, что любой линейный ограниченный оператор автоматически непрерывен (фактически линейный оператор ограничен тогда и только тогда, когда он непрерывен).

Теперь давайте усложним. Для произвольных ограниченных операторов (опять же: они всегда непрерывны!), мы имеем другую спектральную теорему. Чтобы сформулировать это, нам понадобится понятие проекционнозначной меры, которая даст нам непрерывную версию спектральной теоремы, включающую те части спектра, которые не являются собственными значениями и, следовательно, не имеют собственных векторов (пример такой непрерывной спектр можно увидеть для лапласиана: его спектр представляет собой положительную часть действительной линии, а «собственные функции» были бы неинтегрируемыми с квадратом функциями -$e^{ikx}$). Итак, мы определяем:

Определение: Мера с проекционным значением на$\mathbb{R}$это карта$\mu: \mathfrak{B}\to \mathcal{B}(\mathcal{H})$, где$\mathfrak{B}$является борелевской сигма-алгеброй над вещественными числами, которая выполняет следующее:

• $\mu(\mathbb{R})=1$
• для каждого$\xi,\zeta\in\mathcal{H}$,$\langle \xi, \mu(.)\zeta\rangle$является комплекснозначной мерой.

Тогда мы можем сформулировать теорему:

Теорема: Дан самосопряженный ограниченный линейный оператор$A\in\mathcal{B}(\mathcal{H})$, существует проекционнозначная мера$P_{\lambda}$на$\mathfrak{B}$такой, что

Это своего рода непрерывный аналог записи оператора в виде суммы собственных значений и проекций. В случае компактных операторов наша первая теорема просто говорит нам, что мера$dP$является дискретным. Теперь разложение функции гильбертова пространства на «собственные векторы» становится менее очевидным - я не вижу действительно прямого аналога вашему доказательству выше. Однако мы можем сделать что-то подобное. Обратите внимание, что количество$[A,B]$по-прежнему хорошо определен для каждого оператора$A,B\in\mathcal{B}(\mathcal{H})$, так что имеет смысл спросить, действительно ли$[A,B]=0$. Кажется, можно доказать следующее (доказательство «легко следует» из спектральной теоремы):

Предложение: Даны два самосопряженных ограниченных линейных оператора$A,B$, их спектральные меры коммутируют тогда и только тогда, когда коммутируют операторы.

Зачем нам коммутирующие меры? Что ж, в этом случае, похоже, нужно найти совместную проекционнозначную меру для двух наблюдаемых! На данный момент я немного не уверен, как это сформулировать. Я полагаю, вы должны определить совместную меру как$\mu: \mathfrak{B}\times \mathfrak{B}\to\mathcal{B}(\mathcal{H})$является проекционнозначной мерой такой, что$\int_{\mathbb{R}} d\mu(\lambda)=P_A$, где$P_A$является мерой, принадлежащей$A$и аналогично, если я интегрирую другую переменную, я получаю другую меру. Я также предполагаю, что рассматриваемая здесь мера должна быть просто мерой продукта.

Это должно быть настолько далеко, насколько мы можем провести аналогию. Теперь вы специально спрашивали о непостоянных операторах. В этом случае нам нужно рассмотреть неограниченные операторы — они естественным образом возникают как гамильтонианы в квантовой механике (однако вы можете практически избежать их, всегда учитывая эволюцию во времени). Сначала снова определение:

Определение: линейный оператор$A:\mathcal{D}\to \mathcal{H}$с$\mathcal{D}\subset \mathcal{H}$называется неограниченным , если для любого$M>0$существует$\psi\in\mathcal{D}$такой, что$\|A\psi\|>M$. Неограниченный оператор называется эрмитовым , если для всех$\psi,\phi\in\mathcal{D}$у нас есть$\langle \psi , A\phi \rangle = \langle A\psi, \phi \rangle$. Оператор называется самосопряженным , если, кроме того, область определения его сопряженного оператора также$\mathcal{D}$.

Это вроде бы ясно, но я хотел записать это определение, чтобы прояснить самую большую разницу между неограниченными и ограниченными операторами: в то время как для ограниченных операторов мы всегда можем предположить, что областью определения является все гильбертово пространство, это уже не верно для неограниченные операторы. На самом деле неограниченные операторы определены только на плотном подмножестве$\mathcal{D}$всего гильбертова пространства. В этот момент умножение оператора становится проблематичным - величина, подобная$[A,B]$не определен заранее. Вы, конечно, можете легко сделать его четко определенным выражением, просто сказав, что домен$[A,B]$это все векторы, где это имеет смысл. Однако во многих случаях это будет означать, что домен$[A,B]$просто$\{0\}$, что делает выражение$[A,B]=0$немного бессмысленно.

Оказывается, вы можете использовать ту же спектральную теорему, что и выше, для неограниченных операторов (проекционнозначная мера для ограниченных операторов будет иметь компактный носитель, а для неограниченных операторов это уже не так). Теперь у нас может быть другое определение поездок на работу (теперь оно взято из Рида-Саймона VIII.5):

Определение: Два самосопряженных оператора$A, B$ коммутируют тогда и только тогда, когда коммутируют все их проекции в соответствующих им проекционнозначных мерах.

И тогда можно доказать следующую теорему (опять же Рида-Саймона):

Теорема: $A,B$два самосопряженных оператора коммутируют тогда и только тогда, когда коммутируют их однопараметрические унитарные группы (т.е.$e^{itA}e^{isB}=e^{isB}e^{itA}$для всех$s,t$).

В связи с этим может быть разумным задать вопрос о том, существует ли что-то вроде «совместной меры», но это может быть и неразумным. Это больше, чем мне известно, и я думаю, вам следует спросить математиков, если вы хотите получить более ясное и полное изложение этих тонких моментов...

Как уже было сказано, последняя часть взята из книги Michael Reed, Barry Simon: Methods of Modern Mathematical Physics I: Functional Analysis (глава VIII).

Остальное из моей головы и может быть ошибочным, комментарии и предложения очень приветствуются. Я всегда могу предоставить дополнительные ссылки и доказательства, однако большинство доказательств (особенно спектральная теорема) довольно сложны.

РЕДАКТИРОВАТЬ: В общем, учитывая расчет типа$A\sum_n a_n |f_n\rangle = \sum_n a_n A|f_n\rangle$, это можно сделать только для любого состояния, если$A$ограничен. Вы столкнетесь с этой ситуацией в основном в двух контекстах: либо оператор действительно ограничен (тогда в большинстве случаев он даже будет компактным, а$|f_n\rangle$являются собственными состояниями), либо оператор неограничен и$|f_n\rangle$будут обобщенными собственными состояниями. Так как они в любом случае не находятся в гильбертовом пространстве, все выражение является только формальным, и чтобы увидеть, как это работает математически, вы должны работать по-другому.

Сейчас бывают ситуации, отличные от этой. Один из них, о котором я могу думать, — это гамильтониан для гармонического осциллятора, который не ограничен, но имеет только чисто точечный спектр. В этом случае для общих коэффициентов$H \sum_n a_n |f_n\rangle=\sum_n a_n H|f_n\rangle$в основном бессмысленно в том смысле, что правая часть бесконечна, а левая часть не определена, но выбор коэффициентов, убывающих достаточно быстро, правая часть имеет смысл. Тогда вы можете легко показать, что это последовательность Коши, а значит, по полноте сходится к левой части. Это, однако, должно быть показано для любого конкретного примера последовательности. В данном конкретном случае еще можно сказать, что$H \sum_n a_n |f_n\rangle=\sum_n a_n H|f_n\rangle$выполняется, просто определив отношение как истинное, если правая часть бесконечна, и помня, что это просто означает, что государство не поддерживает$H$. Тем не менее, я не думаю, что это вообще в любом случае.